直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P，使P与A B 两点距离之差最大

已知直线L及L异侧两点A、B。请你在直线L上确定一点P使P到A、B两点的距离差最大。~

栋栋 我来帮你解答。首先设在直线L上的一点为 O点，以直线L为对称轴作 A点 的对称点记为 C点，那么 AO=CO然后连接 BO BC ，那么 BCO 构成三角形，根据两边之差小于第三边，那么 CO和BO的差小于BC这个结论成立的条件是 BCO构成三角形 但是如果不构成三角形 即 BCO三点在同一直线上，那么BO和CO的长度差就是BC了 这样来看 BCO三点不构成三角形的时候就是 O到A、B两点的距离差最大的时候，因为不构成三角形只有这一种情况，三点在一条直线上。

（1）（2）如图．（3）①根据角平分线定理可以得出：O到△ABC三边的距离相等；②三条角平分线相交于点O；③点O为三角形ABC的三个角平分线的交点，到三边的距离相等，OD=2，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=（AB+AC+BC）×OD2=30．

直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P，使P与A B 两点距离之差最大

作A点关于L的对称点A1，连接A1B，并延长交L的一点就是所求的P点。

这样就有：PA=PA1，P点与A，B的差PA-PB=PA1-PB=A1B。

下面证明A1B是二者差的最大值。

首先在L上随便取一个不同于P点的点P1，这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。

根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：

P1A1-P1B<A1B，即：P1A-P1B<A1B。

这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B。反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。

所以，P点就是所求的一点。

做A关于L的对称点A'连接A'B,交直线与P，即为所求点
因为两边之差小于第三边，所以，如果A'BP是一个三角形的话，那么A'P与BP的差肯定小于A'B,所以A'B就是使P与A B 两点距离之差最大的线段

直线L及异侧两点A
B
求作直线L上一点P，使P与A
B
两点距离之差最大
作A点关于L的对称点A1，连接A1B，并延长交L的一点就是所求的P点。
这样就有：PA=PA1，P点与A，B的差PA-PB=PA1-PB=A1B。
下面证明A1B是二者差的最大值。
首先在L上随便取一个不同于P点的点P1，这样P1A1B就构成一三角形，且P1A1=P1A。
根据三角形的性质，二边之差小于第三边，所以有：
P1A1-P1B<A1B，即：P1A-P1B<A1B。
这就说明除了P点外，任何一个点与A，B的距离差都小于A1B。反过来也说明P点与A，B的距离差的最大值是A1B。
所以，P点就是所求的一点。

分以下几种情况：
（1）当A,B在直线L的同侧：图（1）
1.如果AB的连线与L相交于点P,则P点即为所求。
此时，AP-AB=AB为最大值。
特别地，若AB⊥L时，垂足P即为所求。
证明：若C是L上异于P的点，连结AC,BC.
在△ABC中，AC-BC＜AB.
2.如果AB‖L时，无解。
（2）当A,B在在线L的异侧：图（2）
1.设D是B关于L的对称点，连AD，若AD与L
相交于P,则P即为所求。此时，AP-BP=AD为最大值。
证明同上。
特别地，若AB⊥L时，垂足P即为所求。
2.若AB不垂直于L,但A,B到直线L的距离相等，则无解。http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/2cf29bc4c86f03c138db4938.html

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泉州市18610292709： 已知,如图,直线L以及两侧两点A,B,在直线L上求一点Q,使L平分∠AQB - ？
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蹉琦鼻炎： 解做B点关于直线L的对称点B' 连结AB'与直线L交于点P 则点P即为所求

泉州市18610292709： 如图,直线l同侧有A、B两点,请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P,使AP+BP值最小.(不写作法,保留作图痕迹) - ？
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