关于均值不等式

均值不等式~

a+2b=(a+2b)(1/a+3/b) (因为后者等于1)
=1+3a/b+2b/a+6
=7+3a/b+2b/a

a>0,b>0
所以3a/b+2b/a>=2根号(3a/b*2b/a)=2√6
当3a/b=2b/a时取等号
3a^2=2b^2
a=√(2/3)*b
代入1/a+3/b=1,有正数解，等号能取到
所以a+2b=7+3a/b+2b/a>=7+2√6
所以最小值=7+2√6

【均值不等式的简介】
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
则有：当r<s时，D(r)≤D(s)
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
●【均值不等式的变形】
(1)对正实数a,b，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a²+b²>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b)
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a²+b²≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a²+b² ≥½×(a+b)²≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥1/3*(a+b+c)²
(8)对非负数a,b,c，有a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a²+ab+b²≥¾×a+b)²
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a²+b²)/2）
●【均值不等式的证明】
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)
●【均值不等式的应用】
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16

可以啊，很容易，其实这是柯西不等式的一种。
柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如：两列数
0，1
和
2，3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数，这个辅助函数是二次函数，于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式。
还有一种形式比较麻烦的，但确实很容易想到的证法，就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开，化成一组平方和的形式。

我这里只给出前一种证法。
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
而如今，你学的均值不等式是柯西部等市的一种！
“一正”是保证两数积开根号时，两数积为正。
“二定”是为了不等式在取值时有最大值或最小值。
“三“”

问编书的人吧或者老师

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崇义县19544295166： 均值不等式(数学不等式) - 搜狗百科？
尹妻赛特：[答案] 均值不等式的简介】概念:1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n...

崇义县19544295166： 均值不等式 - ？
尹妻赛特： 均值不等式 概念: 1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn a1、a2、… ...

崇义县19544295166： 数学均值不等式我点都不懂.举两个例就好 - ？
尹妻赛特：[答案] 均值不等式就是几个平均值之间的不等关系,其中它的核心是几何——算术平均不等式,这个最常用,因此题目都是围绕着这个不等式出的.均值不等式另外两个(分别是调和——几何平均不等式和算术——平方平均不等式)都可以由几何——算术平...

崇义县19544295166： 均值不等式公式是哪四个? - ？
尹妻赛特： 均值不等式,又称为平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式.公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数. 均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn. 拓展资料: 均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式. Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数.简记为“调几算方”.调和平均数:几何平均数:算术平均数:平方平均数:

崇义县19544295166： 关于均值不等式？
尹妻赛特： 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0...

崇义县19544295166： 关于均值不等式 - ？
尹妻赛特： 可以啊,很容易,其实这是柯西不等式的一种. 柯西不等式可以简单地记做:平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例. 如:两列数 0,1 和 2,3 有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9....

崇义县19544295166： 均值不等式 - 均值不等式``什么是均值不等式啊? ？
尹妻赛特： 先说重要不等式吧:对于任意实数c、d (c-d)^2=c^2+d^2-2cd≥0,不等式移项变成c^2+d^2≥2cd 如果记c^2=a,d^2=b,就有: a,b∈R+,(a+b)/2≥√(ab)就是数学上说的均值不等式 其中前面的(a+b)/2 叫正实数a、b的算术平均数,后面的√(ab)叫正实数a、b的几何平均数 可以推广到n个正实数,(a1+a2+a3+…+an)/n≥n次根号下a1a2a3…an 均值不等式常用来求最值问题 当a,b∈R+, a+b是定值S时ab有最大值S^2/4 ab是定值P时,a+b有最小值2√P

崇义县19544295166： 高中数学上的均值不等式是什么啊?？
尹妻赛特： 老师说,关于这个问题,一定要记住2√ab≤(a+b)的平方.就记住这个就可以了.使用条件是a+b 是一个定值,且a,b都为正数.