(2009•黄石)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E
1&2:如图所示:
解答:解:(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,又∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵OF是∠BCA的外角平分线,∴∠OCF=∠FCD,又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠ECD,∴∠OFC=∠COF,∴OF=OC,∴OE=OF;(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由如下:∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴四边形AECF是矩形.已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形;(3)不可能.理由如下:如图,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=12∠ACB+12∠ACD=12(∠ACB+∠ACD)=90°,若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.故答案为不可能.
1、如图1因为EF//BC,所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO,则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC,则OF=OC,所以OE=OF。
2、因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形,则EF必大于CF。
而菱形必须四边相等,所以四边形BCFE肯定不会是菱形。
3、要四边形AECF为正方形,先要求AECF为矩形,
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理,
因为OE=OF,只要OA=OC,则AECF为平形四边形,
又因为∠ECF=90°,则AECF为矩形。
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理,
只要AC⊥EF,则AECF为正方形,
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到,必须O为AC中点,而且要满足∠BCA=90°时,
四边形AECF才为正方形。
解:(1)OE=OF.
其证明如下:
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
(2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BF⊥EC,而由(1)可知FC⊥EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
(3)当点O运动到AC中点时,OE=OF,OA=OC,则四边形AECF为矩形,要使AECF为正方形,必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
证明:(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,(2分)
同理,FO=CO,(3分)
∴EO=FO.(4分)
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.(5分)
∵EO=FO,点O是AC的中点.
∴四边形AECF是平行四边形,(6分)
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4= 12×180°=90°.
即∠ECF=90度,(7分)
∴四边形AECF是矩形.(8分
[1] ∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC,
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
(2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BF⊥EC,而由(1)可知FC⊥EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
(3)当点O运动到AC中点时,OE=OF,OA=OC,则四边形AECF为矩形,要使AECF为正方形,必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
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