（2009•黄石）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E
1&2：如图所示：
解答：解：（1）OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形；（3）不可能．理由如下：如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=12∠ACB+12∠ACD=12（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．故答案为不可能．
1、如图1因为EF//BC，所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO，则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC，则OF=OC，所以OE=OF。
2、因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形，则EF必大于CF。
而菱形必须四边相等，所以四边形BCFE肯定不会是菱形。
3、要四边形AECF为正方形，先要求AECF为矩形，
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理，
因为OE=OF，只要OA=OC，则AECF为平形四边形，
又因为∠ECF=90°，则AECF为矩形。
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理，
只要AC⊥EF,则AECF为正方形，
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到，必须O为AC中点，而且要满足∠BCA=90°时，
四边形AECF才为正方形。
解：（1）OE=OF.
其证明如下：
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
（3）当点O运动到AC中点时，OE=OF，OA=OC，则四边形AECF为矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.
证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= 12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分
[1] ∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
（3）当点O运动到AC中点时，OE=OF，OA=OC，则四边形AECF为矩形，要使AECF为正方形，必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.
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