计算抛物线y^2=2px从顶点到曲线上的一点M（x,y）的弧长

计算抛物线y^2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长.~

已知：抛物线y^2=2px,（p>0)
y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy
根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx.
对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y.
S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
=∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
=(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy （从0积到y）
由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
=(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
这个结果想证明的话,令y=p*sht,从而
(p^2+y^2)^(1/2)=p*cht ,dy=p*cht*dt
代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
=(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
注意到：y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p,sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
双曲函数：sht=[e^t-e^(-t)]/2 cht=[e^t+e^(-t)]/2
扩展资料：
平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（该线）。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。
对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。
开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

参考资料来源：百度百科--抛物线

如图所示：所求抛物线顶点到M点（4.51，3.00）的弧长=5.624

解：已知：抛物线y^2=2px，（p>0)
      y'=dy/dx=p/y,   dx=(y/p)dy
      根据弧长的微分公式：ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx。
     对于曲线上的任一点M(x,y)来说，从顶点到M点的弧长为对ds进行积分，即从0积到y.
     S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx（从0积到y）
       =∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy （从0积到y）
       =(1/p)∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy   （从0积到y）
     由积分表可知：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy  =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
     得：S=(1/p){(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]-lnp}
              =(y/2p)(p^2+y^2)^(1/2)+(p/2)ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]/p]
     分析：对∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C
               这个结果想证明的话，令y=p*sht，从而
            (p^2+y^2)^(1/2)=p*cht ,    dy=p*cht*dt
            代入得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(p^2)∫[(cht)^2]dt
                                                        =(p^2)[t/2+(1/4)sh2t]+C
         注意到： y+(p^2+y^2)^(1/2)=p(sht+cht)=pe^t
                       t=ln[y+(p^2+y^2)(1/2)]/p,    sh2t=2sht*cht=2y[(p^2+y^2)(1/2)]/p^2
         最后得：∫[p^2+y^2]^(1/2)]dy =(y/2)(p^2+y^2)^(1/2)+[(p^2)/2]ln[y+(p^2+y^2)^(1/2)]+C  
所以答案是：

计算抛物线y²=2px从顶点到曲线上的一点M（x,y）的弧长
解：取导数2yy′=2p，故y′=p/y=p/[±√(2px)]
设M在x轴的上方，则y′=p/√(2px)
于是弧长S=[0，x]∫√[1+(y′)²]dx=[0，x]∫√[1+p/(2x)]dx

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西固区17774488645： 计算抛物线y^2=2px从顶点到曲线上的一点M(x,y)的弧长. - ？
赏夜葡萄：[答案] xy

西固区17774488645： 计算抛物线y^2=2px从顶点到曲线上的一点M(x,y)的弧长 - ？
赏夜葡萄：[答案] 计算抛物线y²=2px从顶点到曲线上的一点M(x,y)的弧长 取导数2yy′=2p,故y′=p/y=p/[±√(2px)] 设M在x轴的上方,则y′=p/√(2px) 于是弧长S=[0,x]∫√[1+(y′)²]dx=[0,x]∫√[1+p/(2x)]dx

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赏夜葡萄： xy

西固区17774488645： 计算抛物线y^2=2px(p>0)从顶点到点(p/2,p)的一段曲线弧长. - ？
赏夜葡萄：[答案] 计算抛物线y²=2px(p>0)从顶点到点(p/2,p)的一段曲线弧长. 对y²=2px取导数得 2yy′=2p,故y′=p/y=p/√(2px) 于是弧长S=[0,p/2]∫[√(1+y′²)]dx=[0,p/2]∫√[1+(p/2x)]dx 令1+(p/2x)=u²,p/2x=u²-1,2x/p=1/(u²-1),x=p/2(u²-1),当x=0时,u=+∞;当x=p/2...

西固区17774488645： 计算抛物线y^2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长. - ？
赏夜葡萄： 已知:抛物线y^2=2px,(p>0) y'=dy/dx=p/y,dx=(y/p)dy 根据弧长的微分公式:ds=[(1+y'^2)^(1/2)]dx. 对于曲线上的任一点M(x,y)来说,从顶点到M点的弧长为对ds进行积分,即从0积到y. S=∫[(1+y'^2)^(1/2)]dx(从0积到y) =∫{[1+(p/y)^2]^(1/2)}(y/p)dy (从...

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赏夜葡萄： 计算抛物线y²=2px(p>0)从顶点到点(p/2,p)的一段曲线弧长.解:对y²=2px取导数得 2yy′=2p,故y′=p/y=p/√(2px) 于是弧长S=[0,p/2]∫[√(1+y′²)]dx=[0,p/2]∫√[1+(p/2x)]dx 令1+(p/2x)=u²,p/2x=u²-1,2x/p=1/(u²-1),x=p/2(u²-1),当x=0时,u=+∞...

西固区17774488645： 计算y^2=2px在(0,0)到(p/2,P)上的一段弧长 - ？
赏夜葡萄： 解:对y²=2px取导数得 2yy′=2p,故y′=p/y=p/√(2px) 于是弧长S=[0,p/2]∫[√(1+y′²)]dx=[0,p/2]∫√[1+(p/2x)]dx 令1+(p/2x)=u²,p/2x=u²-1,2x/p=1/(u²-1),x=p/2(u²-1),当x=0时,u=+∞;当x=p/2时,u=√2.dx=-2udu/2(u²-1)²=-udu/(u²-1)² 故S=...

西固区17774488645： 计算抛物线y^2=2px上自点(0,0)到点(p/2,p)的一段弧长 - ？
赏夜葡萄： 方程化为:x=y²/2p 求积分: (1/2p)ƒy²dy=(1/2p)(y³/3) 再求y从0到p的定积分: (1/2p)[(p³/3)-(0³/3)=p²/6

西固区17774488645： 从抛物线y^2=2px上各点向x轴做垂线段,求垂线段中点的轨迹的方程,并说明它是什么曲线 - ？
赏夜葡萄： 设中点坐标为(x,y),则抛物线上对应这个中点的垂直线段的端点为(x,2y) ∵点(x,2y)在抛物线y²=2px上 ∴4y²=2px,即y²=(p/2)x 所以中点的轨迹方程是y²=(p/2)x

西固区17774488645： 高中数学题求解 抛物线:Y平方等于2PX 上的任意一点与焦点连线中点的轨迹方程是什么? 请高手作答 - ？
赏夜葡萄： 设抛物线上任一点是M(m,n),则有n^2=2pm 焦点坐标是(p/2,0),设中点坐标是(x,y) 那么有:m+p/2=2x,n+0=2y 即m=2x-p/2,n=2y 代入得:(2y)^2=2p(2x-p/2) 即轨迹方程是4y^2=4px-p^2.