一道高数题, 分段函数求导,连续性问题

高等数学，关于分段函数连续性，可导性问题， 能不能就这道题讲一下这类题目的解题步骤? 比如分段函数~

函数在某点处的左右极限存在且都等于函数值，则函数在该点连续；如果不连续，则直接判定不可导。在连续的基础上，若该点处左右导数存在且相等，则该点处可导。

含义
如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

对145页最下面那个极限应用洛必达法则，就得到了红线的式子。

这道题的1，
因为这裏不知道φ(x) - cos x与谁等价，所以我们无法用等价代换，
就是说，现在我们不知道该用谁代换φ(x) - cos x，
而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”，保证了“φ具有一阶导数”，从而可以对φ求导数，
所以想到用洛必达法则解决问题，
lim(x->0)f(x)
= lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )/1
= lim(x->0) (φ'(x)+sin x )
= φ'(0)，（此处lim(x->0) φ'(x)=φ'(0)用到条件“φ具有一阶连续导数”，这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证）
要使f(x) 在 x=0 处连续，就要成立lim(x->0)f(x) =f(0) ，（此处用到连续的定义）
所以要有a= f(0) =φ'(0)。

这道题的2，涉及到分段函数在分段点的导数应该从导数的定义求，
当x≠0，可以用导数的公式求出f '(x)=★，略，此处同lanlovelanlan的回答，
当x=0，用导数的定义求，
f '(0)=lim(x->0) [f(x)-f(0)] / (x-0)
=lim(x->0) [(1/x)*(φ(x) - cos x) -φ'(0)] / x
=lim(x->0) [φ(x) - cosx -xφ'(0)] / x^2
=lim(x->0) [φ'(x)+sinx -φ'(0)] / 2x （用洛必达法则）
=lim(x->0) [φ''(x)+cosx ] / 2 （再用洛必达法则）
=[φ''(0)+1] / 2 （此处用到“φ具有二阶连续导数”）
则这道题的2，所求
f '(x) =
★， 当x≠0；
[φ''(0)+1] / 2， 当x=0。

说明，这个题目的概念和方法方面确实都很强，
其中“φ具有二阶连续导数”是很强的条件，
还有条件“φ(0) = 1”，
在分析最初的极限lim(x->0)f(x)=lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x时就用上了，
方法方面，用到了分段函数在分段点的导数需要从导数的定义来求。

另外，以下录lanlovelanlan的回答作一点儿修改，注意▲处，
修改①，
“因为分母X已经趋向于0了，题目要求连续，就说明▲（导数）<应该为>（极限）一定存在，所以分子必须趋向于0，等价代换是在正常情况下的代换，出现这种分母为0的情况，一定分子也趋向于0，不然▲（导数）<应该为>（极限）不存在，然后再用罗比达法则。
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x = lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1= (φ'(0)+0)/1=φ'(0)
▲（导数）<应该为>（极限值）与▲（值）<应该为>（函数值）相等才连续 所以a=φ'(0)
修改②，
你加上这个条件更好解释 ，x趋于0的时候分母趋于0，分子1-1也是趋于0, 0比0型▲（一定要用）<事实上>（不一定用）罗比达法则。
修改③，
f'(x) =
[φ'(x)+sinx]x-(φ(x) - cos x)/(x^2) x=/=0
▲（0）<应该为>（[φ''(0)+1] / 2） x=0

因为分母X已经趋向于0了，题目要求连续，就说明导数一定存在，所以分子必须趋向于0，等价代换是在正常情况下的代换，出现这种分母为0的情况，一定分子也趋向于0，不然导数不存在，然后再用罗比达法则。
lim(x->0)f(x) = lim(x->0) (φ(x) - cos x )/x = lim(x->0)（φ'(x）+sinx）/1= (φ'(0)+0)/1=φ'(0)
导数与值相等才连续 所以a=φ'(0)

你加上这个条件更好解释 ，x趋于0的时候分母趋于0，分子1-1也是趋于0, 0比0型一定要用罗比达法则。

f'(x) =
[φ'(x)+sinx]x-(φ(x) - cos x)/(x^2) x=/=0
0 x=0

等价代换怎么换啊？φ（x）的具体表达式都不知道怎么用等价代换啊

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安陆市13614448039： 一道高数题, 分段函数求导,连续性问题 - ？
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