多面体欧拉定理的定理意义

欧拉定理的意义~

欧拉公式
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

欧拉定理的意义
（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）提出多面体分类方法：
在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

欧拉定理的证明
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
　
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
=(n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα=(V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.

欧拉定理的运用方法
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c

（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

(6) 欧拉定理
在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？
答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F＝x＋y
棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）
顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12
所以共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20
所以共有20块白皮子

经济学中的“欧拉定理”
在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。
因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

【同余理论中的"欧拉定理"】
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的简系个数)

欧拉公式
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
1、复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
2、拓扑学里的欧拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
3、初等数论里的欧拉公式：
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；
（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：
在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。
除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，
所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

---

尧都区18372949603： 多面体欧拉定理的内容是什么,怎么推导出来的? - ？
勇石利美： 欧拉公式 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.欧拉定理的意义 (1)数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律...

尧都区18372949603： 求欧拉定理内容~及其相关内容 - ？
勇石利美： 欧拉定理 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律. 证明欧拉定理 方法1:(利用几何画板) 逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E 先以简单...

尧都区18372949603： 什么是欧拉定理?能详细讲一下吗? - ？
勇石利美： V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数. 如果P可以同胚于一个球面,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h. X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围. 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.

尧都区18372949603： 对于一个多面体来说,欧拉公式是指什么? - ？
勇石利美： 欧拉公式有多种运用.在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式.

尧都区18372949603： 欧拉定理是什么 - ？
勇石利美： 欧拉定理:简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F,有下面关系V+F-E=2

尧都区18372949603： 叙述关于欧拉图的欧拉定理,并请证明该定理. - ？
勇石利美：[答案] 对于互质的整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.

尧都区18372949603： 如何证明多面体欧拉定理 - ？
勇石利美： 定理证明 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V,面数F,棱数E.剪掉一个面,使它变为平面图形(拉开图),求所有面内角总和∑α 一方面,在原图中利用各面求内角总和. 设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为................参考这里:http://www.gdzx.net/senior/maths/wuping2/euler/html/zhengming.htm

尧都区18372949603： 数学上三角形的欧拉定理如何证明? - ？
勇石利美：[答案] 欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.证明方法:方法1:(利用几何画板)逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E先以简单的四...

尧都区18372949603： 什么是欧拉公式 ,有什么规律 - ？
勇石利美：[答案] 在多面体中的运用:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫 .公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的 . 欧拉公式有4条 (1)分式: a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为...

尧都区18372949603： 欧拉公式是用sin 那cos表达式转换是什么? - ？
勇石利美： 欧拉定理:e^(ix)=cosx+isinx.其中:e是自然对数的底,i是虚数单位. 它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位. 将公式里的x换成-x,得到: e^(-ix)=cosx-isinx,然后采用...