高数求极限，求积分

【高数求解答】求极限里有个积分怎么会是这样的？~

推论2

令x=Rcost，y=Rsint，0<=t<2π

则dx=-Rsintdt，dy=Rcostdt
原式=lim(R->+∞) ∫(0,2π) (Rcost*Rcostdt+Rsint*Rsintdt)/(R^2+R^2*sintcost)^2
=lim(R->+∞) (1/R^2)*∫(0,2π) dt/(1+sintcost)^2
因为sintcost=(1/2)*sin(2t)∈[-1/2,1/2]
所以1/(1+sintcost)^2有界，即∫(0,2π) dt/(1+sintcost)^2有界
所以原式=0

求极限大部分都用了等价无穷小替换和洛必达法则，然后后面有隐函数求导等。

第一题，可以用等价无穷代换或者泰勒公式；第二题利用第二个重要极限；第三个先进行分母有理化然后能求出极限；第四题利用公式就能得出。

没发现有难题，也求助？
1）先对分母作等价无穷小替换，再用洛必达法则，……；
2）重要极限，计算结果是 e^6；
3）分子分母有理化后再求极限；
……

1.lim(x→0) (x-sinx)/x²(e^x-1)
=lim(x→0) (1-cosx)/[x²e^x+2x(e^x-1)]
=lim(x→0) sinx/[x²e^x+4xe^x+2(e^x-1)]
=lim(x→0) cosx/[x²e^x+6xe^x+6e^x]
=1/6
2.lim(x→∞) (1+3/x)=1+lim(x→∞) 3/x=1+0=1
3.lim(x→0) [√(x+1)-1]/[√(x+4)-2]
=lim(x→0) √(x+4)/√(x+1)
=2
4.x=ln(1+t²) y=2t
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2/[2t/(1+t²)]=(1+t²)/t
5.y+xe^y=1
两边同时求微分
dy+e^ydx+xe^ydy=0
(1+xe^y)dy=-e^ydx
dy/dx=-e^y/(1+xe^y)
6.∫xsinxdx=-∫xdcosx=-xcosx+∫cosxdx
=-xcosx+sinx+C
7.∫0→1 x/(x²+1)dx
令x=tanα α∈[0，π/4]
则原式=∫0→π/4 tanα/sec²αdtanα
=∫0→π/4 tanαdα
=-ln|cosα| |0→π/4
=-ln(√2/2)
=ln(√2)=(ln2)/2
8.xy=e^(x+y)
两边同时对x求导得
y+xy'=(1+y')e^(x+y)
y'=[y-e^(x+y)]/[e^(x+y)-x]
9.∫-1→1 (x³-2x²)dx
=1/4 x^4-2/3x³ |-1→1
=1/4-2/3-1/4+(-2/3)
=-4/3
10.y''=1/(1+x²)
y'=arctanx+C1
y=∫arctanxdx +C1x+C2
=xarctanx-∫x/(1+x²)dx +C1x+C2
=xarctanx+ln|cosarctanx|+C1x+C2 ①
令arctanx=t则x=tant=sint/cost
sint=xcost
由于sin²t+cos²t=1
所以(x²+1)cos²t=1
|cost|=√[1/(x²+1)
所以①式=xarctanx-1/2 ln(x²+1)+C1x+C2
所以y''=1/(1+x²)的通解为y=xarctanx-1/2 ln(x²+1)+C1x+C2

作业自己写

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昌黎县19294472939： 一道高数积分问题和一道求极限问题1、求积分∫[0,1](1+cosπx)^1/22、lim(5^n+3/n)^1/n (n趋近于无穷) - ？
中莎积大：[答案] 1、倍角公式:1+cosa=2cos^2(a/2),因此 ∫[0,1](1+cosπx)^1/2dx=∫[0,1](2cos^2(πx/2))^1/2dx =2^(1/2)*∫[0,1]cos(πx/2)dx =2^(3/2)/π. 2、夹逼定理. 5=(5^n)^(1/n)

昌黎县19294472939： ...求函数y=2x^3 - 9x^2+12x - 3的极值:2、求不定积分∫3x^2/(1+x^2)dx3、求不定积分∫ xe^x dx4、求不定积分∫ sin^3 xdx5、求不定积分∫(a^x - 3cosx)dx6、求极限... - ？
中莎积大：[答案] 1、x=2时极小值为1; x=1时极大值为2;做法对原题一级导数为6x^2-18x+12=0得x=1,2取极值;求二级导数得12x-18 把x =2、3分别带入大于零极小值 小于零极大值.2答案为3x-3arctanx +c 原式=∫3【1-1/(1+x^2)】dx 然后分...

昌黎县19294472939： 高等数学,带定积分的求解极限. - ？
中莎积大： 先用洛必达法则,再用等价无穷小替换. 原极限=lim [e^(x^2)-1]/(1-cosx)=lim x^2/(1/2*x^2)=2.

昌黎县19294472939： 高等数学 关于极限和积分的问题 - ？
中莎积大： f(x)在定义域内连续,所以lim(x->0+)f(x)=f(0)=lim(x->0-)f(x),x趋于0+,极限等价无穷小,(e^x-sinx-1)/1/2*x^2,洛必达法则两次,求出极限为1,则b=1.左极限一样,求出来是a为-1.则a为-1b为1

昌黎县19294472939： 高数二重积分求极限问题的过程 - ？
中莎积大： 利用积分中值定理,得到积分为函数在区域某一点的值f(c,d)乘以区域的面积,即 πf(c,d)a^2 与外面的数值约分结果是 πf(c,d),取极限以后,因为函数连续,所以极限值等于极限点的函数值,因此最后的结果是 πf(0,0) 选 C

昌黎县19294472939： 求助一道高等数学求反常积分的问题求极限lim x→∞,积分∫下限为0,上限为x,被积分函数为(t*sin(2/t))dt 的值,要求写出计算过程是x趋近于正无穷大... - ？
中莎积大：[答案] 先假设lim x→∞,积分(0,x)∫tsin(2/t)dt是x的等阶无穷大,则下列极限在lim x→∞,应为一常数:I=[(0,x)∫tsin(2/t)dt]/x应用罗毕达法则对上式分子和分母同时微分.分子的微分是xsin(2/x).分母的微分是1.结果得:I=xsi...

昌黎县19294472939： 高数达人请进!什么是化定积分方法求极限? - ？
中莎积大： 用定积分求极限,一般是求某些和式的极限,将和式极限划归为一个定积分,其依据是定积分的定义及可积函数的性质.我们知道定积分是特殊和式的极限,和式中有函数、有区间长度、有小区间中任意取的点,这些小区间的划分方式、任意点...

昌黎县19294472939： 高数,求极限 - ？
中莎积大： 化为exp(lim(1/n)* [ln(1/n)+ln(2/n)+……+ln(n/n)] ) n趋于无穷,此时为定积分标准定义式,化为exp(∫(0~1)lnx dx) 积分可用分部积分法 ∫(0~1)lnx dx=xlnx |(0~1) - ∫(0~1)1dx=-1 所以原极限为e^-1 即为1/e

昌黎县19294472939： 请高手详解如何用积分法求极限就是把求极限的问题转化成求积分的问题 ？
中莎积大： 首先极限的问题能转化为积分的形式,一般都是定积分的形式. 比如你说的问题,极限就是N无限大的时候,那么这是就可转换成定积分了,积分式子是排列的通项公式,而积分微元dx,积分上限为1,积分下限为0.

昌黎县19294472939： 高等数学 积分 求极限 - ？
中莎积大： 原式=lim(x->+∞)(arctanx)²/[x/√(x²+1)]=(π/2)²*lim(x->+∞)√(x²+1)/x=π²/4 lim(x->+∞)√(1+1/x²)=π²/4