浅析高中数学函数最值问题求解方法

高中数学学习中函数最值的问题求解方法分析~

主要有导数法，均值不等式法，二次函数性质等

最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题
的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。
三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。
一、配方法
例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()
A.2 B.0C.-■D.6
略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]
利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。
答案:B
点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。
二、“合一变形”及有界性法
例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()
A.2-■ B.2+■
C.0 D.1
略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。
答案:A
点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。
变题:函数y=■的值域为
略解:由y=■得,sinθ=■
而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:
[-2,0]
三、“和积不等式”与“勾子函数”法
例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。
答案:C
变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号
答案:A
点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。
四、数形结合与换元法
例4.函数y=■的值域为
答案:(-∞,0]
例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为
答案:[-■,1+■]
点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。
例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。
五、三角函数最值问题的简单应用
例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
=■cos2x+■sin2x+■
=■sin(2x+■)+■
y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,
即x=■+kπ,k∈Z
所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝
点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。
例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)⊥■
(2)求角θ的最大值及相应的x值。
解:(1)∵■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)
∴( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0
∴(■-■)⊥■
(2)∵cosθ=■=■
=■
又∵x∈(0,■)
令:■=t,则t∈(1,3)
cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)
又∵θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数
∴θ≤■
θ的最大值为■,此时相应的x值为■
点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。
三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。

最值问题是高中数学中永恒的话题，可综合地考查函数的性质、导数、均值不等式、线性规划、向量等知识的应用；涉及到代数、三角、几何等方面的内容；体现数学中的数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想与方法，并能综合考查学生的数学思维能力、分析和解决问题的能力，是历届高考中的焦点、热点、难点.本文就近几年高考中的常见类型略作探讨，难免有不当之处，权作抛砖引玉.
中国论文网 /9/view-4821051.htm
一、代数问题
一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.
【例1】（2008·江西·第9题）若0<x<y<1，则（ ）.="" 　　A.3y<3x B.logx3<logy3 　　C.log4x<log4y d.<="" 　　简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.
【例2】求二次函数在[0，a]上的最值.
解析：=+2
结合图像，需对a进行分类讨论：
①若0≤a≤1，==3，=；
②若1　　③若a>2，=，==2.
评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.
此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.
【例3】（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）
设a为实数，函数，求的最值.
解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1
∵，≥0，
∴函数在上是增函数，
∴==a+
显然不存在最小值.
与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.
评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.
【例4】已知，，求的最小值.
解法1：==5+≥5+=9
（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）
∴的最小值等于9.
说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.
解法2：∵x+y=1，令，（）
∴=
=
=
=≥=9
说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.
解法3：利用柯西不等式
==
≥==9
说明：实质上令，，是的应用.
解法4：令=t，由，消去y可得：
转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.
所以最小值等于9.
说明：本解法体现了转化思想、方程思想.
评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.
二、三角函数问题
三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.
【例5】（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.
A.1 B. C. D.2
分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.
易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.
【例6】（2004全国卷）求函数的最大值.
解析：，
而，∴
评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.
【例7】（2008重庆·第10题）
函数的值域为（ ）.
A. B. C. D.
分析：观察式子结构，若化为
∵，∴
但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.
变形为另一种形式：，观察结构，
再配凑，会发现什么？
令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.
可见向量作为工具的重要应用，应多观察、联想、对比、发现，从中寻找解决问题的最佳途径.
上述介绍的数学思想与方法是根据近几年部分高考试题总结的，也是最值求解问题中最常用的，只要在平时注意归纳，加强训练，就能够熟练运用.但没有任何一种方法能够“包打天下”，因此在具体实施时，还需要注意解题方法的选择，及各种思想方法的综合使用，实现优势互补，这样才能够“游刃有余”.

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