什么是反证法
反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显。
反证法(Proof
by
countradiction)的定义:证明定理的一种方法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来,这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。
反证法的实质
事实上,反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的,这与直接证明是等价的,但是可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾,事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论,所以我们不能接受这个假设,所以这个假设的反面就是正确的,从而命题得证。
适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而
http://baike.baidu.com/view/276975.htm
反证法是间接论证的方法之一。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。
在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的,因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假,常常要使用归谬法。
扩展资料:
只能用反证法证明的命题,有以下几类:
1、有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的,比如根号2是无理数。
2.、很多已知当中只有两个元的问题。由于条件有限,基本上也只能采用反证法。这类问题通常是一个公理体系里只有A、B两项,由已知命题推未知命题的真假。
3.、对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理:由于这些定理可使用的证明条件太少,只能用反证法才能证明。
4、证明一个集合有无穷多个元素,用反证法。即证明如果它是有限的,则会存在矛盾;与另外一个无穷集合建立映射,这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。
参考资料来源:百度百科-反证法
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。
在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的,因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假,常常要使用归谬法。
反证法是一种有效的解释方法,特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时,用反证法会收到更好的效果。
扩展资料:
反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。
实际的操作过程还用到了另一个原理,即:
原命题和原命题的否定是对立的存在:原命题为真,则原命题的否定为假;原命题为假,则原命题的否定为真。
若原命题: 为真
先对原命题的结论进行否定,即写出原命题的否定:p且¬q。
从结论的反面出发,推出矛盾,即命题:p且¬q 为假(即存在矛盾)。
从而该命题的否定为真。
再利用原命题和逆否命题的真假性一致,即原命题:p⇒q为真。
误区:
否命题与命题的否定是两个不同的概念。
命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论:
原命题:p⇒q;
否命题:¬p⇒¬q;
逆否命题:¬q⇒¬p;
命题的否定:p且¬q。
原命题与否命题的真假性没有必然联系,但原命题和原命题的否定却是对立的存在,一个为真另一个必然为假。
证明一个集合有无穷多个元素:
① 用反证法。即证明如果它是有限的,则会存在矛盾;
② 与另外一个无穷集合建立映射,这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。
证明质数有无穷多个,欧几里得的证明就是反证法。
再如,证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明的话,相当于列举自然数,然而我们在有限的步骤中完成,因此直接证法行不通。于是,利用排中律转化为:对于所有自然数n,存在一个自然数m,使得m>n。这几乎是显然的。
参考资料来源:百度百科——反证法
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的。反证法的论证过程为:
1、反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立(否定结论)。
2、归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾(推导矛盾)。
3、立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立(命题成立)。
扩展资料
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而命题的否定则比较浅显的题目,问题可能解决得十分干脆。
只能用反证法证明的命题有:关于纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。很多已知当中只有两个元的问题。由于条件有限,基本上也只能采用反证法。对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理,由于这些定理可使用的证明条件太少,只能用反证法才能证明。
参考资料来源:百度百科-反证法
反证法 反证法是数学中常用的一种方法,而且有些命题只能用它去证明。这里作一简单介绍。用反证法证明一个命题常采用以下步骤:
1) 假定命题的结论不成立,
2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾,
3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的。
4) 肯定原来命题的结论是正确的。
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程:我们假定“结论不成立“,结论一不成立就会出毛病,这个毛病是通过与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾的方式暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢?推理没有错误,已知条件,公理或定理没有错误,这样一来,唯一有错误的地方就是一开始的假定。”结论不成立“与”结论成立“必然有一个正确。既然“结论不成立”有错误,就肯定结论必然成立了。
反证法也称为归谬法。英国数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)对于这种证法给过一个很有意思的评论。在棋类比赛中,经常采用一种策略,叫“弃子取势”,即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出,归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略。棋手可以牺牲的是几个棋子,而数学家可以牺牲的整个一盘棋。归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。
我们来证明定理1和定理4的互逆性。需要证明两个命题:
(1) 由定理1的成立得出定理4的成立;
(2) 由定理4的成立得出定理1的成立;
证明(1)。用反证法。从否定定理4 的结论开始。假定有 ,那么根据定理1应当有 ,而这与定理4的条件矛盾。所要的矛盾找到了。定理的正确性得证。
思考题 读者自己证明,由定理4的成立得出定理1的成立。
我们用集合的观点作些说明。设
{在闭区间上的连续函数}; ={在闭区间上取得最值的函数}。
这是两个不同的集合。上面的定理告诉我们,
即 是 的子集(图2)。一个函数不在 中,一定不在 中,这就是逆否定理。它与正定理同真同假。
同样的道理,逆定理与否定理同真同假。
思考题 证明,逆定理与否定理同真同假。
弄清定理的结构和定理的四种形式是重要的,为下面的充要条件研究作好了准备。但这只是问题的一个方面。要学好定理,我们还需要考虑以下五个问题:怎样证明定理,怎样推广定理,怎样运用定理,怎样理解定理。
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的,因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假,常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法,特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时,用反证法会收到更好的效果。
反证法是什么意思
是先提出和定理中的结论相反的假定。反证法是指通过否定结论的对立面,然后向前推导,看是否能达到自相矛盾的结果,来证明或排除某一命题的一种逻辑推理方法。即从结论的否定开始推理,如果得出一些自相矛盾的结果,则说明原来的假设是错误的,反之则说明原来的假设是正确的。反证法在证明数学定理和逻辑...
什么叫反证法
反证法,这个间接论证的手段,通过确立与论题相矛盾的判断(反论题)的虚假来证实论题的真实性。其论证过程包含以下步骤:首先,明确论题;接着,设定与论题矛盾的反论题,通过推理规则推导出反论题的虚假;最后,依据逻辑学的“矛盾律”和“排中律”,由于反论题是假的,那么论题必然为真。反证法适用于...
什么是反证法? 能举个例子吗?
反证法是先假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,从而证明原命题成立.例:在△ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,且∠C≠90°.求证;a2+b2≠c2.有些命题想从已知条件出发,经过推理,得出结论是很困难的,因此,人们想出了一种证明这种命题的方法,即反证法.假设a2+b2=c2,则由勾股定理的逆定理可以...
什么是反证法
值得注意的是,反证法的运用要求反论题必须与论题存在实质的矛盾,而不能是简单反对。在证明过程中,归谬法是常用的手法,通过推导反论题的错误来证实原论题的正确。以下是反证法在特定情况下的应用实例:证明涉及纯数字划分的命题,如根号2是无理数,通常只能通过反证法得出。在只有两个元素的已知条件下,...
反证法具体是什么?
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:第一步,反设:作出与求证结论相反的...
什么是反证明?请写出例题.
就是先假设结论的反面成立,从中可得出一些条件,要是得到的条件与题目已知的条件相反(或矛盾)就可以推出结论成立了~这叫反证法
什么是反证法
间接论证的方法。根据查询作业官网显示,反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”,是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
什么是“反证法”,“对位法”?
proof of contradiction 矛盾证明法,也称反证法,即反向思维证明原命题矛盾的证明方法。例如命题A=B,B=C,证明A=C。用反证法证明,假如A≠C的情况下,仍然得出结果为A=B,B=C的话,与原命题矛盾,所以原命题成立 proof of Contraposition 对位证明法,即结论与条件互换得出证明原命题正确的证明方法...
反证法的论证方式是什么
从而揭示出这个说法的错误和不严谨之处。又如,若有人声称“只有国外的产品才是好的”,可以采用反证法,假设这个说法成立,然后推导出与已知矛盾的结论,揭示出这个说法的偏见和错误。以上就是反证法的格式和用法,通过灵活运用反证法,可以更准确地判断问题的正确性和不正确性,提高自己的论证能力。
数学中"反证法"的思路是怎么样的?
定义:证明定理的一种方法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来,这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。反证法的实质 事实上,反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的,这与直接证明是等价的,但是可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了...
鲁肺欣坦:[答案] 反证法是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:肯定题...
泰兴市17275954694: 什么叫反证法不懂 - ?
鲁肺欣坦:[答案] 反证法(又称归谬法、背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证. 反证法常称作Reductio ad absurdum,是拉丁语中的“转化...
泰兴市17275954694: 什么是反证法请举例 - ?
鲁肺欣坦:[答案] 反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证. 反证法的证题模式可以简要的概...
泰兴市17275954694: 反证法是什么? - ?
鲁肺欣坦:[答案] 首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.
泰兴市17275954694: 什么是数学的反证法 - ?
鲁肺欣坦:[答案] 定义反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.反...
泰兴市17275954694: 什么叫做反证法? - ?
鲁肺欣坦:[答案] 反证法(又称归谬法、背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证. 一个反证法的范例 证明:素数有无穷多个. 这个古老的命题最...
泰兴市17275954694: 什么是数学的反证法 - ?
鲁肺欣坦: 定义反证法(Proofs by Contradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证. 解释 反证法是“间...
泰兴市17275954694: 数学中 什么是反证法? - ?
鲁肺欣坦: 反证法是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:肯定题设而...
泰兴市17275954694: 什么叫反证法?? - ?
鲁肺欣坦: 反证法是数学中常用的一种方法,而且有些命题只能用它去证明.这里作一简单介绍.用反证法证明一个命题常采用以下步骤: 1) 假定命题的结论不成立, 2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾, ...