50(i+1)+15(1++i)^3/4+25(1+i)^1/3=67
【求解答案】i=-0.32296
【求解方法与思路】该方程属于非线性方程,不能用常规的方法求解。所以我们应考虑用迭代法(如简单迭代法)等数值分析来求解。简单迭代法又称逐步逼近法。为了便于书写,用x替代i,其求解步骤:
第一步,将原方程改写成如下方程
第二步,用五点法作函数图形,对该函数方程的基本图形进行分析,也可以用导数的方法来判断,其那段区间曲线是向上递增,那段区间曲线是向下递减。
第三步,根据曲线是向上递增还是向下递减,来判断函数的迭代式,即
在(-1~+∞)区间,使用迭代式
求解方程的实数解。
【求解过程】解:令
则用五点法作函数图形,从上图可知,从-1至+∞曲线处于向下递减。根据该函数曲线的特点,在(-1~0)区间,
是收敛的。因此,我们可以用上述迭代式进行计算。计算过程如下:
即i=-0.32296
【本题知识点】
1、简单迭代法的思想:就是构成不动点方程,以求得近似根。
2、用五点法作函数图形。五点法作图五个关键点是函数图像的最高点、最低点、与x轴的交点、确定原点的位置以及建立坐标系。作函数图形的作用是判断方程的初始值是什么,以便于快速求解。
3、简单迭代法。迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,通过迭代,求出方程的近似根。
迭代法的关键是确定迭代函数 f(x),对于本题:
如单独使用
求解方程的解,不管你任意改变初始值,它始终趋于 x=-0.32296的实数值。
如单独使用
求解方程的解,不管你任意改变初始值,它始终无法趋于某一实数值而是复数值。
所以,本题为什么使用不同的迭代式,得到不相同解的原因。
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