请说出初中数学上的所有公理
初中数学中公理如下:
1、线段公理:两点之间,线段最短。
2、直线公理:过两点有且只有一条直线。
3、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
4、垂直性质:经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
5、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
6、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
7、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
8、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)
9、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)
10、全等三角形的对应边相等,对应角相等。
扩展资料
证明两直线平行,同位角相等的方法:
平行线的性质:两直线平行,同位角相等。
两直线平行,内错角相等。两直线平行,同旁内角互补平行线的判定:同位角相等,两直线平行。
内错角相等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。
两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一侧的角,我们把这样的两个角称为同位角。
两条直线a,b被第三条直线c所截会出现“三线八角”,其中有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角。
是公式吧·
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平行,内错角相等
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的
一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d<r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d>r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d<R-r(R>r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:L=n兀R/180
145扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
(还有一些,大家帮补充吧)
实用工具:常用数学公式
公式分类 公式表达式
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有一个实根
b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
每一级末尾的0不读。
每一级前面的0读。
每一级中间的0,不管有几个零,只读一个。
圆锥是圆柱的1/3。
圆柱是圆锥的3倍。
分子相同,分母越小分数就大。
分母相同,分子越大分数就小。
上面是分子,下面是分母。
相遇问题
相遇路程=速度和相遇时间
相遇时间=相遇路程速度和
速度和=相遇路程相遇时间
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润成本100%=(售出价成本-1)100%
涨跌金额=本金涨跌百分比
利息=本金利率时间
税后利息=本金利率时间(1-20%)
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒
每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数
速度×时间=路程 路程÷速度=时间
路程÷时间=速度 单价×数量=总价
总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数 被减数-减数=差
被减数-差=减数 差+减数=被减数
因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
被除数÷除数=商 被除数÷商=除数
商×除数=被除数
和倍问题
(和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数
和÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数
和-小数=大数
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数
小数+差=大数
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
利润与折扣问题
利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1) 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
加法交换率:a+b=b+a
加法结合率:a+b+c=a+(b+c)
数学定理
三角形三条边的关系
定理:三角形两边的和大于第三边
推论:三角形两边的差小于第三边
三角形内角和
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角
角的平分线
性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言:
∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)
PE⊥OA,PF⊥OB
点P在OC上
∴PE=PF(角平分线性质定理)
判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
几何语言:
∵PE⊥OA,PF⊥OB
PE=PF
∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等
几何语言:
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言:
(1)∵AB=AC,BD=DC
∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(2)∵AB=AC,∠1=∠2
∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(3)∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°
几何语言:
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)
等腰三角形的判定
判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
几何语言:
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言:
∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)
推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言:
∵∠C=90°,∠B=30°
∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)
线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言:
∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)
点P为MN上任一点
∴PA=PB(线段垂直平分线性质)
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
几何语言:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)
轴对称和轴对称图形
定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称
勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理 任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°
推论 任意多边形的外角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定理1 平行四边形的对角相等
性质定理2 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)
AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)
平行四边形的判定
判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵∠A=∠C,∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD=BC,AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
矩形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD(矩形的对角线相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言:
∵△ABC为直角三角形,AO=OC
∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言:
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
菱形
性质定理1 菱形的四条边都相等
性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
几何语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC
(菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
几何语言:
∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言:
∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
正方形
性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1 关于中心对称的两个图形是全等形
定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言:
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)
等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言:
∵∠A=∠B,∠C=∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半
几何语言:
∵EF是三角形的中位线
∴EF= AB(三角形中位线定理)
梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半
几何语言:
∵EF是梯形的中位线
∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)
比例线段
1、 比例的基本性质
如果a∶b=c∶d,那么ad=bc
2、 合比性质
3、 等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
几何语言:
∵l‖p‖a
(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)
推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,OC过圆心
(垂径定理)
推论1
(1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径
(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)
(2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵AC=BC,OC过圆心
(弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)
(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
几何语言:
(平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)
推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言:∵AB‖CD
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA(切线性质定理)
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言:∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P
∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB(切割线定理)
推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB(切割线定理推论)
2点之间,直线最短
所谓公里,就是不好证明,但又正确的命题。
没有绝对的公理。
:① 等于同量的量彼此相等; ②等量加等量,其和相等; ③等量减等量,其差相等; ④ 彼此能重合的物体是全等的; ⑤整体大于部分
初中的数学与高中的数学课程上到底有什么不一样的
一、 初中数学形象化,便于学生理解,并且联系生活实际比较多。对于这些知识点,只要用心一些,很是比较容易把握的,运用起来也会比较自如。而高中数学相对来说则比较抽象,学生经常不能很好的把所学知识理解透彻,甚至进入理解误区,如此,便造成运用定理和公式不熟练或运用错误的现象。针对这些情况,建议家长...
初中数学教案
在教学中,一定要注意发挥本章承上启下的作用,搞好小学数学与初中代数的衔接,使学生有一个良好的开端。 (2)在本节的学习过程中,要使学生理解代数式的概念,首先要给学生多举例子(学生比较熟悉、贴近现实生活的例子),使学生从感性上认识什么是代数式,理清代数式中的运算和运算顺序,才能正确说出一个代数式所表示的...
2011初中数学新课标 7 ~ 9 年级的数与代数内容包含哪些内容?
而且也体现模型思想,比如正数与负数,在生活中我们表示东与西就用正数与负数,所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等,最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型。 话题二 方程与不等式 一、重点 方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容,一个就是关于方程的,比方说一元一次方程,二元一次方程...
初中数学教案精选
师:上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法,根据所学看下面的问题(出示投影). 学生活动:学生口答第1、2题. 师:你能说出有什么条件,就可以判定两条直线平行呢? 学生活动:由第l、2题,学生思考分析,只要有同位角相等或内错角相等,就可以判定两条直线平行. 教师将第3题图形画在黑板上. 学生活动:学生...
初中数学数轴上的动点问题怎么解?
初一数学数轴上的动点问题解题技巧如下:一、解题技巧 1、确定动点的起始位置:在数轴上,动点的起始位置通常是已知的,需要根据题目所给的条件确定。2、确定动点的运动方向:动点的运动方向通常有向左、向右、向上、向下等,需要根据题目所给的条件确定。3、确定动点的速度:动点的速度通常是已知的,需要...
初中数学万能说课稿
初中数学万能说课稿4 一、说教材: 1、教学内容:我 说课的 教学内容是 () 2、教学地位:本课是在学习了( )的基础上进行教学的,同时又是后面学习( )的基础。 3、教学目标: (1)使学生结合具体的情境,探索并发现(或理解并掌握)(),会运用所学的知识解决简单的实际问题。 (2)使学生主动经历自主探索、合作...
谁知道初中数学方面的解题方法,课本上没有但是很有助于解题。例如:十字...
37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点...2020-04-14 初中数学哪一本课本中的哪一章哪一页哪一节有十字相乘法分解因式... 2017-12-12 初中数学常用的几种经典解题方法 2 2015-01-25 初中...
初中数学课件大全(5篇)
在学生说出几个公式后,师提出本节课我们应在小学学习的基础上,研究如何运用公式解决实际问题。 板书:公式 师:小学里学过哪些面积公式? 板书:S=ah (出示投影1)。解释三角形,梯形面积公式。 5.初中数学课件 一、教学目标 (一)知识与技能 了解数轴的概念,能用数轴上的点准确地表示有理数。 (二)过程与方法 ...
请帮忙出些初中的数学题!
请帮忙出些初中的数学题! 150道初中数学题什么题都可以要答案谢谢了!... 150道初中数学题 什么题都可以 要答案 谢谢了! 展开 ...54、在半径为10cm的圆中,20°的圆心角所对的弧长为 cm. 55、若两圆半径分别为9cm和4cm,圆心距为5cm,则两圆位置关系为 . 56、若直线AB经过⊙O上...
初中数学八年级教案
此外,历史上勾股定理的发现反映了人...软件大小: 未知运行环境:Win9X\/2000\/XP\/2003\/授权方式: 免费版推荐级别:2008-04-21 17:02:40 等腰三角形的性质教案[八年数学教案]等腰三角形的性质教案课题3、12等腰三角形的性质教学目标1、说出等腰三角形的性质2、使学生掌握“等腰三角形的性质定理“的证明以及这个定理...
稻玉前列:[答案] 1.两点确定一条直线 2.两点之间线段最短 3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.同位角相等,两直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的...
滨城区17059432614: 初中数学所有公式及定理概念 - ?
稻玉前列: 一、数与代数 A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴.②任何...
滨城区17059432614: 初中数学全部定义定理公式 - ?
稻玉前列:[答案] 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直...
滨城区17059432614: 常见的初中数学公式 - ?
稻玉前列:[答案] 初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点...
滨城区17059432614: 初中数学全部公式定理 - ?
稻玉前列: 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
滨城区17059432614: 初中数学九个公理 - ?
稻玉前列:[答案] 1、平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等(2)平行四边形的对角相等(3)平行四边形的对角线互相平... 相等的圆周角所对的弧相等 3-3、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3-4、(1)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆...
滨城区17059432614: 初中三年所有的数学公式、定义初中三年数学所有要背要记要懂的重点公式,定义,性质,比如 函数,一元一次不等式,等, - ?
稻玉前列:[答案] 常见的初中数学公式 一.平行线证明 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 ...
滨城区17059432614: 初一初二的所有公式! - ?
稻玉前列:[答案] 初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点...
滨城区17059432614: 初中数学公式定理全部的 - ?
稻玉前列: 初高中的数学公式定理大集中(仅供参考) 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外...
滨城区17059432614: 初中阶段所有数学公式及定理?对应典型的例题? - ?
稻玉前列:[答案] 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直...