完全平方公式
一. 完全平方公式常见的变形有
a2+b2=(a+b)2-2ab,
a2+b2=(a-b)2+2ab,
(a+b)2-(a-b)2=4ab,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)
二. 乘法公式变形的应用
例1: 已知:x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均为有理数,求xy的值。
分析:逆用完全乘方公式,将
x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和,利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。
解:∵x2+y2+4x-6y+13=0,
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0,
即(x+2)2+(y-3)2=0。
∴x+2=0,y=3=0。
即x=-2,y=3。
∴xy=(-2)3=-8。
分析:本题巧妙地利用
例3 已知:a+b=8,ab=16+c2,求(a-b+c)2002的值。
分析:由已知条件无法直接求得(a-b+c)2002的值,可利用(a-b)2=(a+b)2-4ab确定a-b与c的关系,再计算(a-b+c)2002的值。
解:(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4(16+c2)=-4c2。
即:(a-b)2+4c2=0。
∴a-b=0,c=0。
∴(a-b+c)2002=0。
例4 已知:a、b、c、d为正有理数,且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证:a=b=c=d。
分析:从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式,再寻找证明思路。
证明:∵a4+b4+C4+D4=4abcd,
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0。
a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0
又∵a、b、c、d为正有理数,
∴a=b,c=d。代入ab-cd=0,
得a2=c2,即a=c。
所以有a=b=c=d。
(-3-x)(-x-3)
=3x+9+x²+3x
=x²+6x+9
=(x+3)²
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用,难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等)。
注意事项:
左边是一个二项式的完全平方。
右边是二项平方的和,加上(或减去)这两项乘积的二倍,a和b可是数,单项式,多项式。
不论是(a+b)²还是(a-b)²,最后一项都是加号,不要因为前面的符号而理所当然地以为下一个符号。
不要漏下一次项。
切勿混淆公式。
运算结果中符号不要错误。
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对于一个具有若干个简单变元的整式A,如果存在另一个实系数整式B,使A=B^2,则称A是完全平方式。
中文名:完全平方式
外文名:A=B^2
公式1:a²+2ab+b²=(a+b)²
公式2:a²-2ab+b²=(a-b)²
类似概念:完全平方数
注意:简单变元的多项式分享定义
公式一 (A+2+B)²公式
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²例子举例
(1)7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式,因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2;
(2)x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式,因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2;
(3)因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2,所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。几点注意
(1)以上多项式,指的都是*实系数多项式*。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式,因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B,使A=B^2。
(2)以上所说多项式,都是*简单变元*的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数
式为完全平方式。例如
①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2,但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式,所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。
②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2,但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式;
③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2,但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。准完全平方式导言
如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2,并将其中的1/x记为y,这里y是一个*复合变元*。
类似地在②中记u=e^(x/2),v=e^(-x/2);在③中记P=cosx,Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。定义
若对于函数式A,存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B,使A=B^2成立,则称A是“*准*完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。例子
按照定义,上述①x^2-2+1/x^2,②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。
这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的*加注说明*,主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”,但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。
例如,当P=x^2-1,Q=x时,虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2,在形式上他是一个“准完全平方式”,但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。类似概念 · 完全平方数
若对于整数A,存在整数B,使A=B^2成立,则称A是完全平方数。
例如0,1,4,9,16,25,36,……等,都是完全平方数
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完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²,该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
公式1:a²+2ab+b²=(a+b)²
公式2:a²-2ab+b²=(a-b)²
完全平方公式?
三次方平方差公式和完全平方公式:(a+b)³=(a+b)(a+b)²=(a+b)(a²+2ab+b²)=a³+3a²b+3ab²+b³完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1,2*2,3*3等,以此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式,则称这个数为完全平方数。
什么是完全平方公式?
a方+b方等于(a加b)平方减2ab叫完全平方公式。扩展知识:完全平方公式是一个数学公式,用于计算一个数的平方,它具有特定的形式和结构。这个公式在数学中有着广泛的应用,尤其在代数、几何和三角学中。完全平方公式可以表示为:a^2= (a-1)^2+2a(a-1)+1^2。在这个公式中,a是一个正整数或零...
完全平方公式
(a±b)²=a²+2ab+b² 两个数的和(或差)的平方,等于它的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做乘法的完全平方公式.即(a±b)2=a2±2ab+b2.(a+b)(a-b)=a2- b2 (重点强调公式特征)叫做平方差公式,也就是:两个数的和与这两个数的差等于这两个...
完全平方公式
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三个数的完全平方公式
三个数的完全平方公式是:(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc。
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a平方加b平方等于(a+b)2-2ab。两个字母的平方之间的关系时,通常会考虑平方差和完全平方公式,而题目是相加的形式,所以我们就锁定完全平方公式。其次,我们知道(a+b)²=a²+b²+2ab,所以把2ab移到左边就可以知道答案了。这是一个完全平方公式,两数和的平方,等于它们的...
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完全平方公式(数学公式)(Perfect square trinomial),(a+b)²=a²+2ab+b²与(a-b)²=a²-2ab+b²是应用于数学领域的平方公式,该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解中常用到的公式。中文名:完全平方公式 外文名:Perfect square trinomial...
完全平方公式12种变形是什么?
完全平方公式12种变形是:1、a^2+b^2 =(a+b)^2-2ab 2、a^2+b^2 =(a-b)^2+2ab 3、a^2+(1\/a)^2 =(a+(1\/a))^2-2 4、a^2+(1\/a)^2 =(a-(1\/a))^2+2 5、(a+b)^2-(a-b)^2=4ab 6、(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2 7、(a+b)^2=(a-b)...
完全平方公式是什么
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
纵炕克念:[答案] 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 这里的后面的2,都是平方,2ab这个不是平方
太湖县17076224982: 完全平方和公式 - ?
纵炕克念: (a+b)²=a²+2ab+b²为完全平方和; (a-b)²=a²-2ab+b²为完全平方差; a²+ab+b²为不完全平方和; a²-ab+b²为不完全平方差; 反过来被称为因式分解.熟记各种公式对做题很有用,各科均如此.
太湖县17076224982: 完全平方公式是什么? - ?
纵炕克念: ﹙a±b﹚²=a²±2ab+b²
太湖县17076224982: 完全平方公式是什么?
纵炕克念: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 以上是完全平方公式 a^2-b^2=(a+b)(a-b)这是平方差公式
太湖县17076224982: 什么是完全平方公式 - ?
纵炕克念: 完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,是因式分解的重要公式方法.该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解). 可以用一下公式来表达 (a+b)(a+b)...
太湖县17076224982: 完全平方公式概念 - ?
纵炕克念: 完全平方公式:对于一个具有若干个简单变元的整式A,如果存在另一个实系数整式B,使A=B^2,则称A是完全平方式. 定义:公式一 (A+2+B)² 公式: a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²
太湖县17076224982: 完全平方公式 - ?
纵炕克念: (x+y)²=x²+2xy+y²=x²+xy+xy+y²=12+13=25x²+xy=12、xy+y²=13 两式相减得 x²-y²=-1 (x+y)(x-y)=-1 (x+y)²(x-y)²=1 25(x-y)²=1 (x-y)²=1/25(x+y)²-(x-y)²=x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)=4xy=25-1/25=624/25 2xy=312/25x²+y²=(x+y)²-2xy=25-312/25=313/25
太湖县17076224982: 完全平方公式?
纵炕克念: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
太湖县17076224982: 数学完全平方公式 - ?
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