完全平方公式

完全平方公式的所有变形公式~

一. 完全平方公式常见的变形有
a2+b2=（a+b）2-2ab，
a2+b2=（a-b）2+2ab，
（a+b）2-（a-b）2=4ab，
a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）
二. 乘法公式变形的应用
例1： 已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，将
x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，
（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，
即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。

分析：本题巧妙地利用

例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a+b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证：a=b=c=d。
分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0
又∵a、b、c、d为正有理数，
∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，
得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。

（-3-x）（-x-3）
=3x+9+x²+3x
=x²+6x+9
=（x+3）²
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
注意事项：

左边是一个二项式的完全平方。
右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
不论是(a+b)²还是(a-b)²，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然地以为下一个符号。
不要漏下一次项。
切勿混淆公式。
运算结果中符号不要错误。

完全平方式
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对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。
中文名：完全平方式
外文名：A=B^2
公式1：a²+2ab+b²=(a+b)²
公式2：a²-2ab+b²=(a-b)²
类似概念：完全平方数
注意：简单变元的多项式分享定义
公式一 (A+2+B)²公式
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²例子举例
（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；
（2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2；
（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。几点注意
（1）以上多项式，指的都是*实系数多项式*。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。
（2）以上所说多项式，都是*简单变元*的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数
式为完全平方式。例如
①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。
②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；
③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。准完全平方式导言
如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2，并将其中的1/x记为y，这里y是一个*复合变元*。
类似地在②中记u=e^(x/2)，v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx，Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。定义
若对于函数式A，存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B，使A=B^2成立，则称A是“*准*完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。例子
按照定义，上述①x^2-2+1/x^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。
这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的*加注说明*，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。
例如，当P=x^2-1，Q=x时，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，在形式上他是一个“准完全平方式”，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。类似概念 · 完全平方数
若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。
例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数
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完全平方公式即（a±b）²=a²±2ab+b²，该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解（如对公式中积的一次项系数的理解）。

公式1：a²+2ab+b²=(a+b)²
公式2：a²-2ab+b²=(a-b)²

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纵炕克念：[答案] 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 这里的后面的2,都是平方,2ab这个不是平方

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纵炕克念： (a+b)²=a²+2ab+b²为完全平方和; (a-b)²=a²-2ab+b²为完全平方差; a²+ab+b²为不完全平方和; a²-ab+b²为不完全平方差; 反过来被称为因式分解.熟记各种公式对做题很有用,各科均如此.

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纵炕克念： ﹙a±b﹚²=a²±2ab+b²

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纵炕克念： (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 以上是完全平方公式 a^2-b^2=(a+b)(a-b)这是平方差公式

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纵炕克念： (x+y)²=x²+2xy+y²=x²+xy+xy+y²=12+13=25x²+xy=12、xy+y²=13 两式相减得 x²-y²=-1 (x+y)(x-y)=-1 (x+y)²(x-y)²=1 25(x-y)²=1 (x-y)²=1/25(x+y)²-(x-y)²=x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)=4xy=25-1/25=624/25 2xy=312/25x²+y²=(x+y)²-2xy=25-312/25=313/25

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纵炕克念： (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

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纵炕克念： 利用完全平方公式计算 (4a+7b)²=16a²+56ab+49b² (5-2x)²=25-20x+4x² (1/7ab+3)²=1/49a²b²+6/7a²b²+9-(2m-n)²=-(4m²-4mn+n²)=-4m²+4mn-n² (-3x-2y)²=9x²+12xy+4y² (-3x+2y)²=9x²-12xy+4y²希望能够帮助到你.