给我一些古代数学题~~~!3~5道!~~~~~~~~~~~~~~~

谁能给我出5道数学智力题~

例题1：你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？

小蒲（现在微创工作，去年遭遇这道试题）：这道试题相对其它一些微创考题还是简单的，可仍然把我弄得头大。当时我是这样做这道题的。两次弄断就应分成三份，我把金条分成1／7、2／7和4／7三份。这样，第1天我就可以给他1／7；第2天我给他2／7，让他找回我1／7；第3天我就再给他1／7，加上原先的2／7就是3／7；第4天我给他那块4／7，让他找回那两块1／7和2／7的金条；第5天，再给他1／7；第6天和第2天一样；第7天给他找回的那个1／7。

例题2：现在小明一家过一座桥，过桥时候是黑夜，所以必须有灯。现在小明过桥要1秒，小明的弟弟要3秒，小明的爸爸要6秒，小明的妈妈要8秒，小明的爷爷要12秒。每次此桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭。问小明一家如何过桥？

参考答案：这类智力题目，其实是考察应聘者在限制条件下解决问题的能力。具体到这道题目来说，很多人往往认为应该由小明持灯来来去去，这样最节省时间，但最后却怎么也凑不出解决方案。但是换个思路，我们根据具体情况来决定谁持灯来去，只要稍稍做些变动即可：第一步，小明与弟弟过桥，小明回来，耗时4秒；第二步，小明与爸爸过河，弟弟回来，耗时9秒；第三步，妈妈与爷爷过河，小明回来，耗时13秒；最后，小明与弟弟过河，耗时4秒，总共耗时30秒，多么惊险！

专家意见：这类题目多出现于跨国企业的招聘面试中，对考察一个人的思维方式及思维方式转变能力有极其明显的作用，而据一些研究显示，这样的能力往往也与工作中的应变与创新状态息息相关。所以回答这些题目时，必须冲破思维定式，试着从不同的角度考虑问题，不断进行逆向思维，换位思考，并且把题目与自己熟悉的场景联系起来，切忌思路混乱。

现在开始出题来考考大家：

智力题：猜牌问题

简介： 这是一道经典的趣味逻辑题。

详细介绍：

S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4 黑桃J、8、4、2、7、3 草花K、Q、5、4、6 方块A、5。约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉 P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。这时，约翰教授问P先生和Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？ 于是，S先生听到如下的对话：P先生：我不知道这张牌。
Q先生：我知道你不知道这张牌。
P先生：现在我知道这张牌了。
Q先生：我也知道了。
听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。
请问：这张牌是什么牌？

经典智力题集锦

简介：看看你会多少？

详细介绍：

1、一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？

2、有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了不$2，总共是$29。可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢？

3、有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同， 而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？

4、有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？

5、你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？

经典面试题：外企趣味智力题

6、你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？

7、对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。

8、想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？

9、一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

10、两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周呢？

11、 1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

确定帽子颜色问题

简介：这是一道经典的趣味逻辑题。

详细介绍：

有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前订笭斥蝗俪豪筹通船坤面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？

称苹果问题

简介：不是脑筋急转弯，大家想想看。

详细介绍：

10个箱子，每个箱子10个苹果，其中一个箱子的苹果是9两/个，其他的都是1斤/个。 要求利用一个秤，只秤一次，找出那个装9两/个的箱子。

囚犯活命问题

简介：一道真正难倒亿人的智力题,这是微软的面试题。

详细介绍：

5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大？提示：

1，他们都是很聪明的人
2，他们的原则是先求保命，再去多杀人
3，100颗不必都分完
4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死

乒乓球问题

简介：该题由中华谣网站改造，有一定难度。

详细介绍：

假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？

山羊的速度

简介：无

详细介绍：

卢姆教授说：“有一次我目击了两只山羊的一场殊死决斗，结果引出了一个有趣的数学问题。我的一位邻居有一只山羊，重54磅，它已有好几个季度在附近山区称王称霸。后来某个好事之徒引进了一只新的山羊，比它还要重出3磅。 开始时，它们相安无事，彼此和谐相处。可是有一天，较轻的那只山羊站在陡峭的山路顶上，向它的竞争对手猛扑过去，那对手站在土丘上迎接挑战，而挑战者显然拥有居高临下的优势。不幸的是，由于猛烈碰撞，两只山羊都一命呜呼了。
现在要讲一讲本题的奇妙之处。对饲养山羊颇有研究，还写过书的乔治·阿伯克龙比说道：“通过反复实验，我发现，动量相当于一个自20英尺高处坠落下来的30磅重物的一次撞击，正好可以打碎山羊的脑壳，致它死命。”如果他说得不错，那么这两只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破脑壳？你能算出来吗？

酒肆老板娘的难题

简介：无

详细介绍：

据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？

一道关于飞机加油的问题

简介：无

详细介绍：

已知： 每个飞机只有一个油箱， 飞机之间可以相互加油（注意是相互，没有加油机） 一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈， 问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场）

难题

简介：这类题有一定难度，如果得不到答案，也不能说明什么。如果你想到了解题思路，那么答案马上就能出来。如果想不到思路，那么……就别想解出来了。

详细介绍：

1.你让工人为你工作7天，回报是一根金条，这个金条平分成相连的7段，你必须在每天结束的时候给他们一段金条。如果只允许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？ 2.有一辆火车以每小时15公里的速度离开北京直奔广州，同时另一辆火车每小时20公里的速度从广州开往北京。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从北京出发，碰到另一辆车后就向相反的方向返回去飞，就这样依次在两辆火车之间来回地飞，直到两辆火车相遇。请问，这只鸟共飞行了多长的距离？ 3.你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的药丸的重量+1。只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 4.门外三个开关分别对应室内三盏灯，线路良好，在门外控制开关时候不能看到室内灯的情况，现在只允许进门一次，确定开关和灯的对应关系？ 5.人民币为什么只有1、2、5、10的面值？ 6.你有两个罐子以及50个红色弹球和50个蓝色弹球，随机选出一个罐子， 随机选出一个弹球放入罐子，怎么给出红色弹球最大的选中机会？在你的计划里，得到红球的几率是多少？

没有答案型

简介：这些题显然不是考你智力。而考的是你的反应能力。这种题大多数没有答案，但是要看你的反应喽！

详细介绍：

1.为什么下水道的盖子是圆的？ 2.中国有多少辆汽车？ 3.将汽车钥匙插入车门，向哪个方向旋转就可以打开车锁？ 4.如果你要去掉中国的34个省（含自治区、直辖市和港澳特区及台湾省）中的任何一个，你会去掉哪一个，为什么？ 5.多少个加油站才能满足中国的所有汽车？ 6.想象你站在镜子前，请问，为什么镜子中的影象可以颠倒左右，却不能颠倒上下？ 7.为什么在任何旅馆里，你打开热水，热水都会瞬间倾泻而出？ 8.你怎样将Excel的用法解释给你的奶奶听？ 9.你怎样重新改进和设计一个ATM银行自动取款机？ 10.如果你不得不重新学习一种新的计算机语言，你打算怎样着手来开始？ 11.如果你的生涯规划中打算在5年内受到奖励，那获取该项奖励的动机是什么？观众是谁？ 12.如果微软告诉你，我们打算投资五百万美元来启动你的投资计划，你将开始什么样商业计划？为什么？ 13.如果你能够将全世界的电脑厂商集合在一个办公室里，然后告诉他们将被强迫做一件事，那件事将是什么？

画线

简介：（3分钟-20分钟）

详细介绍：

在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点？

称球

简介：（5分钟-1小时）

详细介绍：

12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。13个呢？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)

问路

简介：（20秒-2分钟）

详细介绍：

一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？

称水

简介：（40秒-3分钟）回答

详细介绍：

如果你有无穷多的水，一个3公升的提捅，一个5公升的提捅，两只提捅形状上下都不均匀，问你如何才能准确称出4公升的水？

确定颜色

简介：（5秒-1分钟）回答

详细介绍：

你有一桶果冻，其中有黄色、绿色、红色三种，闭上眼睛抓取同种颜色的两个。抓取多少个就可以确定你肯定有两个同一颜色的果冻？

标题：海盗分宝石[智力测试题]

内容： 在美国，据说20分钟内能回答出这道题的人，平均年薪在8万美金以上。这是一道很有趣的推理题。

详细介绍：

在美国，据说20分钟内能回答出这道题的人，平均年薪在8万美金以上。这是一道很有趣的推理题。据统计，在美国20分钟内能回答出这道题的人，平均年薪在8万美金以上。 5个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都一样的大小和价值连城。他们决定这么分： 1。抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5） 2。首先，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。 3。如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当半数和超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。 4。以次类推...... 条件： 每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。 问题：第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化。

算指针的重合次数

简介：（5分钟-15分钟）

详细介绍：

在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？

时间问题

简介：（这道题我当初想了一个小时）

详细介绍：

烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？

过桥问题

简介：无

详细介绍：

在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥。

1.解：
一班人数的1/4比二班人数的1/5多1人,
就是一班人数是二班人数的1/5×4=4/5多1×4=4人
把二班人数看作"1",一班人数是4/5多4人
一班的1/4与二班人数的1/5和等于三班人数的1/3,
三班人数就是二班人数的:(4/5×1/4+1/5)÷1/3=6/5 多:1÷1/3=3人
所以
二班人数:(37-4-3)÷(1+4/5+6/5)=10人
一班人数：10×4/5＋4＝12人
三班人数：10×6/5＋3＝15人

2.设AB两地相距x千米，人的速度为y千米/分钟；
x/y=30;即x=30y;
(3/5)/(3y/4)+(x-3/5)/y=42;
4/(5y)+(x-3/5)/y=42;
代入x=30y得到
4/(5y)+(30y-3/5)/y=42;
4/(5y)+30-3/(5y)=42;
1/(5y)=12;
y=1/60;
所以x=30y=1/2千米

3.设甲有X只，
则乙有79-X只，
则得：X（1-5/12）=79-X-3，
得X=48，
所以甲有48只，乙有31只。

4.甲数和乙数的比是2:5,可以写成8：20同时乘4
乙数和丙数的比是4:7可以写成20：35同时乘5
所以甲：乙：丙是8：20：35
甲是16就是都乘以2
这三个数就是16，40，70
所以他们的和是16+40+70=126

5.(1)甲乙合作每天完成多少?
(2)甲乙合作 3 天完成多少?
(3)甲乙合作 3 天还剩多少需完成?
(4)甲乙合作 3 天的剩余部分分成12天完成
每天需完成多少?

6.某厂有371个青年职工参加电脑培训，占全厂青年职工的7/9，
所以，全厂青年职工有：371÷7/9＝477人
定期听技术讲座的有：477-371＝106人，
听技术讲座的比参加电脑培训的少371-106＝265人

7.解：设第二队共种x棵.
80÷（4／9）＝x÷（3／10）
x＝54
答：第二队共种54棵.

8.答：
分针1小时走
7×2×3.14=43.96厘米
一昼夜走
43.96×24＝1055.04厘米
时针12小时走
5×2×3.14=31.4厘米
一昼夜走
31.4×2＝62.8厘米

9.这个正方形铁皮的面积比这个圆多
32*32-3.14*16^2=220.16 平方分米

10.长边三个，短边2个剪，可以得出最大的相等的6个园
园的半径R=4/2/2=1分米
6个原的总面积S'=6S=6*PI*R*R=6*3.14*1*1=18.84平方分米
长方形的面积S''=6*4=24平方分米
剩下面积:24-18.84=5.16平方分米

11.白兔:72/(1-0.2)=90只
黑兔比白兔少90-72=18只

12. 60.52 0.01 6052 6052/100
1/5 1

13.大厅长40M，宽20M，最大半径应为20M，因此，喷水池占地约为：
3.14*20*20/2=628平方

14.解:设 原计划这月产X个,则依题意可列下列方程
X*5/8+X*7/12=X+350
解该一元一次方程得: X=1680(个)
答:计划产1680个.

15.设乙每小时做X个
（46＋X）×6.5＝650×0.88
X＝42

16.设乙为x
2/5x+18=x+12
-12+18=x-2/5x
6=3/5x
x=10

望采纳!

○方田（以御田畴界域）
今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。
又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。
〔图：从十四，广十二。〕
方田 术曰：广从步数相乘得积步。
〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义
同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名
责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者
举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之
本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存
善去非，略为料简，遗诸后学。〕
以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。
〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一
亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而
截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，
凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。
二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕
今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。
又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。
里田 术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。
〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即
得亩数也。〕
今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。
○约分
〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。
设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则
异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕
术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
求其等也。以等数约之。
〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕
今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三
分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得
二、六十分之四十三。
○合分
〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细
既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕
术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。
〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，
然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母
互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，
势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通
体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错
综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同
以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕
实如法而一。不满法者，以法命之。
〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得
知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕
其母同者，直相从之。
今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。
○减分
〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰
减分。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。
〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，
同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕
今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六
多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三
分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八
多，多一千五十分之四十三。
○课分
〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕
术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。
〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意
与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕
今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减
四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减
三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
○平分
〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平
分也。〕
术曰：母互乘子，
〔齐其子也。〕
副并为平实。
〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，
限为平。〕
母相乘为法。
〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕
以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。
淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三
重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕
以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。
今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之
四。
又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：
人得二钱八分钱之一。
○经分
〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以
人数分所分，故曰经分也。〕
术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。
〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。
乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，
自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令
两分母相乘法实也。〕
重有分者同而通之。
〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内
子，又令分母互乘上下。〕
今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十
二。
又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。
又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。
○乘分
〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕
术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃
为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各
当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十
匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤
之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五
匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十
二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，
犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求
齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。
又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；
此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕
术曰：分母各乘其全，分子从之，
〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十
三步六分步之五。
术曰：半广以乘正从。
〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中
平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕
今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
答曰：九亩一百四十四步。
又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。
〔并而半之者，以盈补虚也。〕
今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩
一百三十五步。
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几
何？答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕
今有圆田，周三十步，径十步。
〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径
九步十一分步之六。〕
问为田几何？答曰：七十五步。
〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕
又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。
〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，
径五十七步二十二分步之一十三。〕
问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕
术曰：半周半径相乘得积步。
〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容
六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，
次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥
少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。
以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，
则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推
圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可
知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故
置诸检括，谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚 术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令
半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，
开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分
母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余
一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之
求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
开方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，
即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之
四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分
弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即
句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。
开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一
尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除
之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚 术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次
上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句
幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除
之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺
乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六
觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，
即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，
得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五
十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其
中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五
十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律
嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六
百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微
少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此
分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸
之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得
五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺
二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五
十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，
上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，
数亦宜然，重其验耳。
淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。
用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，
自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，
今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使
锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之
径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆
一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张
其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以
其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于
徽术之下，冀学者知所裁焉。〕
又术曰：周、径相乘，四而一。
〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘
为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十
七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径
以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之
于微多。
淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，
即周。依术求之，即得。〕
又术曰：径自相乘，三之，四而一。
〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令
六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一
百五十七乘之，二百而一。
淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕
又术曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者
九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自
乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若
欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自
乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三
百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千
三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。
淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、
一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何
者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、
六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步
四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。
〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，
下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，
即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与
圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。
故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥
同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，
犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说
圆方诸率甚备，可以验此。〕
今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答
曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，
则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘
矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法
当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚
之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。
宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧
可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割
之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲
有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。
〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，
当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕
问为田几何？答曰：二亩五十五步。
〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕
术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。
〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各
自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕
又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十
二步三分步之二。
〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于
多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。
淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径
八步一百七十六分步之一十三。〕
问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。
〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周
三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕
术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中
周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除
之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。
〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱
有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之
知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合
分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数
除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕

淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存善去非，略为料简，遗诸后学。〕以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。

二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得亩数也。〕今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

○约分〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。

设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。

○合分〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。

〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕实如法而一。不满法者，以法命之。

〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕其母同者，直相从之。

今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。

○减分〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰减分。〕术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

○课分〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

○平分〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也。〕术曰：母互乘子，〔齐其子也。〕副并为平实。

〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，限为平。〕母相乘为法。

〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。

淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之四。

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱八分钱之一。

○经分〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以人数分所分，故曰经分也。〕术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。

〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。

乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令两分母相乘法实也。〕重有分者同而通之。

〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内子，又令分母互乘上下。〕今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。

○乘分〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则三术同归也。〕今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：一亩二百步十一分步之七。

○大广田〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕术曰：分母各乘其全，分子从之，〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕相乘为实。分母相乘为法。

〔犹乘分也。〕实如法而一。

〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘为法而连除之。〕今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？答曰：九亩一百四十四步。

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。

术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。

〔并而半之者，以盈补虚也。〕今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩一百三十五步。

又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几何？答曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。

〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕今有圆田，周三十步，径十步。

〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径九步十一分步之六。〕问为田几何？答曰：七十五步。

〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。

淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。

〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，径五十七步二十二分步之一十三。〕问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。

〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。

淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕术曰：半周半径相乘得积步。

〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。

又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。

以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。

不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。

割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。

开方除之，即十二觚之一面也。

割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。

割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。

开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。

割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。

以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。

为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。

案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。

淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。

用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。

径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于徽术之下，冀学者知所裁焉。〕又术曰：周、径相乘，四而一。

〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之于微多。

淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，即周。依术求之，即得。〕又术曰：径自相乘，三之，四而一。

〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。

是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一百五十七乘之，二百而一。

淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕又术曰：周自相乘，十二而一。

〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。

淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。

故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备，可以验此。〕今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。

宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。

以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。

〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕问为田几何？答曰：二亩五十五步。

〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。

〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之

九百九十九文钱,甜果苦果买一千.
甜果九个十一文,苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．

看看九章算术。都是古代的数学题，而求都有答案。

---

潮州市17347939960： 中国古代数学题目5道,高分值!!!!!~~~~~~ - ？
敏邢佳普： 1.设人数X,鸡价Y,则,9X-11=Y,6X+16=Y,得人数9,鸡价70.2.设X天后等高,则,3(1+1/2)^X=2^X 得X=1/(log以3为底4的对数-1).3.不知道“百钱买百鸡”中百钱为几百?若是100那就没必要做了因为想买100只鸡只有买100只雏鸡,很显然的,若不是指100钱就不得而知了.4.(100—1)÷(1+1+2/1+4/1) =99÷11/4 =99*4/11 =36(只) .5.灯总数是顶层的盏数的: 1+2+4+8+16+32+64=127倍,所以381÷127=3(盏).完毕!!

潮州市17347939960： 求20道古代数学应用题带答案20道古代数学应用题及答案,不要太长 ？
敏邢佳普： 古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.”用现在的话来说就是:“有一批物品...

潮州市17347939960： 1,我国古代一道有趣的数学题“井深10米,一只小蜗牛从井底向上爬,白天向上爬2米,夜间又掉下来1米,问小蜗牛几天可爬出深井?”你能用有理数加法... - ？
敏邢佳普：[答案] 1.应该是9天就爬出井了,因为蜗牛每天爬一米,即是说前8天就爬了8米,然后第9天白天爬2米就刚好爬出来了,也就不存在说掉下去了!所以是9天 2.2*3=6,2+3=5 1*6=6,1+6=7

潮州市17347939960： 20道古代数学应用题,带解题过程和答案快!!! ？
敏邢佳普： 于桥之上测桥高,把绳子对折,垂至水面尚余8尺;把绳子三折,垂至水面尚余2尺,... 有甲乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我1只,我的羊数就是你的羊数的2倍.”...

潮州市17347939960： 我国古代有这样一道数学题:“枯木一根直立地上,高2丈,周3尺,有葛藤自根缠绕而上,5周而达其顶.问葛藤之长几何?”这里1丈=10尺,葛藤之长指它的... - ？
敏邢佳普：[答案] 如图, 一条直角边(即枯木的高)长20尺, 另一条直角边长5*3=15(尺), 因此葛藤长 202+152=25 故答案为:25.

潮州市17347939960： 两到三道中国古代的数学题(必须是古文)稍微短一点的. - ？
敏邢佳普： 1.远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?——明代数学家吴敬《九章算法比类大全》2.一百馒头一百僧,大僧三个更无增;小僧三人分一个,大小和尚各几丁?——明代数学家程大位《算法统宗》3.甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后;戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑.玄机奥妙谁猜透?——明代数学家程大位《算法统宗》

潮州市17347939960： 我国古代数学题 - ？
敏邢佳普： 设1个大桶可以盛A斛米,1个小桶可以盛B斛米,列式如下:5A+B=3;A+5B=2.解得A=13/24,B=7/24.那么1个大桶,1个小桶分别可以盛13/24、7/24斛米.

潮州市17347939960： 我国古代数学中有一道数学题:如图,有一棵枯树直立在地上,树高20尺,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕5周到达树顶,则这条树藤有___尺.... - ？
敏邢佳普：[答案] 如图所示,在如图所示的直角三角形中, ∵BC=20尺,AC=5*3=15尺, ∴AB= 152+202=25(尺). 答:葛藤长为25尺. 故答案为:25.

潮州市17347939960： 请看一道古代的数学题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? - ？
敏邢佳普： “今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余 二,问物几何?”这道题的意思是:有一批物品,不知道有几件.如果三件三件地数,就会剩下两件;如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件.问:这批物品共有多少件?变成一个纯粹的数学问题就是:有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求这个数.这个问题很简单:用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案.参考资料:http://wenwen.sogou.com/z/q754795789.htm (百度的)

潮州市17347939960： 我国古代有一道有趣的数学题:“井深十米,一只小蜗牛从井底向上爬,白天向上爬2米,夜间又掉下1米,问小 - ？
敏邢佳普： 白天向上爬2米,夜间又掉下1米.那么2-1=1一天就是向上爬了1米.到第7天结束时是爬了7米,第8天白天爬到了9米,晚上掉1米是8米.第9天白天就到了10米,这样是9天时间.2-1+2-1+2-1+2-1+2-1+2-1+2-1+2-1+2=101米 2米 3米 4米 5米 6米 7米 8米 10米 一 二 三 四 五 六 七 八 九天 答案就是九天