有一个三角形,如果将它分成四块裁剪重新拼接成新的一个三角形,将会发现新的三角形，将会发现

奇怪的三角形~

欺骗眼睛的几何问题
　　生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，请看下面问题1这两个图形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？理性会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表，让喜欢思考的同学先动动脑子。

　　我们还是来看一个更简单的问题2吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！

　　这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。
问题２中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其
他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是： 。其中 表示正方形的面积， 表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。
　　上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立： 我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是： 。其中 恰是著名的黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1， ， ， ， ，……。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1， ， +1，2 +1，3 +2，……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

　　我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题１实际上是问题２的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。
最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5
这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图６，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗?卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！最后送给大家一句华罗庚教授的话作为本文的结束，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

欺骗眼睛的几何问题
生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，请看下面问题1这两个图形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？理性会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表，让喜欢思考的同学先动动脑子。

我们还是来看一个更简单的问题2吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图4，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！

这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。
问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其
他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是： 。其中 表示正方形的面积， 表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。
上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”的数字，则下列两式成立： 我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是： 。其中 恰是著名的黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1， ， ， ， ，……。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1， ， +1，2 +1，3 +2，……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。
最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5
这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗?卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！最后送给大家一句华罗庚教授的话作为本文的结束，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

首先我反驳一下2楼的说法，2楼进入了惯性思维误区。小方格不仅不是正方形而且上下部分小方格的标准也是不同的，所以并不是2楼理解的2：5而应该是2a：（2a+3b）
你发现面积缩小了是因为下面有色部分面积确实比上面小了那是因为上面的黄色部分的面积和下面黄色部分的面积是不相同的，同理：上下两图中绿色部分也不相同

只需要分成4块就可以了，如果硬要分成6块的话就随便多剪两刀吧。
做法如下：假设直角三角形叫OAB，O是直角顶点；正方形叫ABCD。取BC中点E，连接OE、ED、OD。这样原图形就被分成了4块：钝角大三角形OAD，钝角小三角形OBE，直角大三角形OED，直角小三角形CED。
拼接时：
三角形OBE与三角形CED拼接，让CE边与BE边重合，使DE垂直EO；
再拼接三角形OAD，使OA与OB重合，AD与DC重合，（至此，完成图形的一半）
最后将直角大三角形OED拼接上去，完成。

如果需要证明过程，我会写出来。比较复杂～～

损耗和视觉问题

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定海区17012911453： 有一个三角形,如果将它分成四块裁剪重新拼接成新的一个三角形,将会发现新的三角形,将会发现 - ？
无会一夫： 首先我反驳一下2楼的说法,2楼进入了惯性思维误区.小方格不仅不是正方形而且上下部分小方格的标准也是不同的,所以并不是2楼理解的2:5而应该是2a:(2a+3b) 你发现面积缩小了是因为下面有色部分面积确实比上面小了那是因为上面的黄色部分的面积和下面黄色部分的面积是不相同的,同理:上下两图中绿色部分也不相同

定海区17012911453： 把一个三角形平均分成四份,用四种方法,要通俗易懂 ,有图 - ？
无会一夫：[答案] 如果分成的也都是三角形,有28种 .首先一种是连三边中点画三条中位线.其次,作某一边中线,有三条画法,对其中的一个三角形取中线,有三种画法,另一个三角形再取中线又有三种,共有27种组合,就有27种分法.所以一共有28种分...

定海区17012911453： 把一个三角形分成面积相等的四块,写出四种方法 - ？
无会一夫： 1.三边中点连线成为四个三角形2.一个顶点和对边中点连线,然后那个中点连结另外两个边的中点3.一边平均分四分,然后边所对的顶点连那三个四等分点4.作一条中线,中线的中点连另外两个顶点.

定海区17012911453： 怎么把一个三角形分成面积一样的四块 - ？
无会一夫： ①用中线.中线可把三角形分成面积相等的两部分,再用一次就是四份.三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点.中线AE将△ABC分成面积相等的△ABE和△ACE,DE、EF分别将△ABE和△ACE分成相等的两部分,这四块面积相等.②用中位线.中位线将△ABC分成四个全等三角形.

定海区17012911453： 任意剪一个三角形,然后把它剪成四块,使得这四块可以拼成一个长方形 - ？
无会一夫： △ABC,AB、AC的中点D、E,作DF、EG分别垂直BC于F、G 沿DF、EG剪开成3块可拼个成长方形 随便把一块剪两,共4块

定海区17012911453： 把一块三角形纸片分成面积相等的4块,请你设计2种方法 - ？
无会一夫： 第一种:连接每个边的中间,分成了四个全等的三角形 第二种:将一条边平均分成四份,然后分别连接对角的点,分成四个等底等高的三角形

定海区17012911453： 把一个三角形分成相等的四块.(至少给三种方法) - ？
无会一夫： 1连接顶点到对边四等分点的直线(有三种)2 作三角形的三条中位线

定海区17012911453： 怎样将等边三角形割成四块 - ？
无会一夫： 你跟着我的步骤画个图 先画个等边三角型 用字母代替来讲 设3点ABCDEF(ABC为3个顶点DEF为3边中点) 过任意一边做高 用BC吧 做BC边上的高AD(D即BC中点) 过AD中点连接EF(EF即其余两边中点) 再连接ED,FD 着样就分成4块了

定海区17012911453： 一个等边三角形,如何把它分成四个部分,且每个部分都全等?? - ？
无会一夫： 取每一边的中点,把这三个中点连起来就会形成4个小的正三角形,这样就把原来的正三角形平均分成4部分了.

定海区17012911453： 将一个直角三角形分割成四个小三角形,使它们均与原三角形相似.(三种方法) - ？
无会一夫： 1.作3条中位线2.做斜边上的高线,分出2个三角形,作各三角形斜边上的高3.做斜边上的高线,分出2个三角形,作其中一个三角形斜边上的高,又分出2三角形,再做其中之一的斜边上的高