已知正数a,b满足a+b=2。求√a^2+4 +√b^2+1的最小值 求详细讲解。。跪求，。最好快一点

a,b均为正数，且a+b=2.求W=根号（a^2+4）+根号（b^2+1）的最小值~

a,b均为正数,a+b=2,b=2-a,
W=根号(a^2+4)+根号(b^2+1)=根号(a^2+4)+根号(a^2-4a+5)
取导W '=a/根号(a^2+4)+(a-2)/根号(a^2-4a+5)=0有极值,化为
a^2(a^2-4a+5)=(a^2-4a+4)(a^2+4);
(a^2-4a+4)a^2+a^2=(a^2-4a+4)a^2+4(a^2-4a+4)得
3a^2-16a+16=0,(3a-4)(a-4)=0,a1=4/3,a2=4(不和题意舍去)
b=2/3,W最小值=根号13

y=√（a^2+1）+√（b^2+4）=√(a^2+1)+√[(a-2)^2+4]
原函数式可化为：y=根号下[(a-0）²+(0-1)²]+根号下[(a-2)²+（0+2）²]
该函数式的几何意义：
在平面直角坐标系中，x轴上一点（a，0）到点（0，1）和点（2，-2）的距离之和
∴函数y的最小值的求法：点（0，1）和点（2，-2）的连线与x轴的交点的横坐标为此时x的解，
∴y的最小值即为点（0，1）和点（2，-2）的距离，是根号13，即√13.

设: A=(0,2) , B=(2,1), B'=(2,-1) ; x轴上动点：p=(a,0) 则：
|pA|=√(a^2+4)
|pB|=√[(2-a)^2+1]=√(b^2+1) = |pB'|
|AB'|=√（4+9）=√13

从而：|pA|+|pB|=|pA|+|pB'| ≥|AB'| 【三角不等式：三角形两边和大于第三边，即：】
√(a^2+4)+√(b^2+1) ≥ √13

【参考“将军饮马问题”】

y
|
* A(0,2)
|\
| \
| \
| \ * B (2,1)
| \ | 易求：p'=(4/3,0)
| \p' |
---|-*----*--|----------->x
| p \ |
\ |
\* B'(2,-1)

补充一点，楼上的处理方法很简洁，比这个几何方法应用广泛，也得掌握。只是直接应用三角不等式，在求解“取到”的最小值的场合，其是否合适值得商榷。(有参考但有答必回）

是求√(a^2+4 )+√(b^2+1) 吗?

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四会市19691191481： 已知a,b均为正数,且a+b=2,求u=√(a^2+4)+√(b^2+1)的最小值 - ？
梅耿倍司： 好题,数形结合即可解答解:作线段AB=2, 过A作AC⊥AB,且AC=2, 过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1 在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2 连结PC,PD ,CD 由勾股定理得 CP=√(a²+2²)=√(a²+4) DP=√(b²+1²)=√(b²+1) CD=√[(2+1)²+2²]=√13,【可添画辅助线,构造出直角三角形来】 由两点之间线段最短得 CP+DP≥CD 即√(a²+4)+√(b²+1)≥√13 所以若a+b=12,则u=√(a²+4)+√(b²+1)最小值是√13

四会市19691191481： 已知正数a,b满足a+b=2,则1/a+1+4/b+1的最小值为 - ？
梅耿倍司： 解答: (1)f'(x)=1/x-a,根据题意,在区间(1,+∞)上为减函数,即当x>1的时候,f'(x)<0 所以1/x-a<0 1/x<a 得到a>1. g(x)'=e^x-a 根据题意,要在(1,+∞)上有最小值,即当x>1的时候,g'(x)>0,为增函数,所以: e^x-a>0 e^x>a 即:e>a. 所以...

四会市19691191481： 已知正数a,b满足a+b=1,(1)求ab的取值范围;(2)求ab+1/ab的最小值.求详解,谢谢~ - ？
梅耿倍司： (1)用基本不等式1=a+b≥2根号(ab)>0 范围(0,1/4] (2)注意不可直接使用基本不等式,因为当且仅当ab=1/ab时取得即ab=1矛盾 因此要使用令b=1-a代入 对a求导,令整个导函数=0,验算即可求出最小值时的a,b的值

四会市19691191481： 已知a,b均为正数,且a+b=2,求W=√(a^2+b^2)+√(b^2+1)的最小值 - ？
梅耿倍司： 2倍根号2

四会市19691191481： 已知a、b为正数,a+b=2 ,求W=√(a^2+4)+√(b^2+1)最小值 - ？
梅耿倍司： 设: A=(0,2) , B=(2,1), B'=(2,-1) ; x轴上动点:p=(a,0) 则:|pA|=√(a^2+4) |pB|=√[(2-a)^2+1]=√(b^2+1) = |pB'| |AB'|=√(4+9)=√13 从而:|pA|+|pB|=|pA|+|pB'| ≥|AB'| 【三角不等式:三角形两边和大于第三边,即:】 √(a^2+4)+√(b^2+1) ≥ √13 【...

四会市19691191481： 正数a、b满足a+b=2,求S=根号下(a平方+4)+根号下(b平方+1)的最小值. - ？
梅耿倍司： 根据柯西不等式:√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] ,等号成立条件:ad=bc.所以:√(a^2+2^2)+√(b^2+1^2)≥√[(a+b)^2+(2+1)^2] = √13 即所求最小值为√13,取到最小值时,a = 2b,所以 a = 4/3,b = 2/3.附上柯西不等式的证...

四会市19691191481： 已知正实数a,b满足a+b=2,则根号a+根号下b+1的最大值? 答案是根号6 求详细过程和公式？
梅耿倍司： ∵[√a+√(b+1)]^2=a+b+1+2√a(b+1)=3+ 2√a(b+1) <=3+2*[a+(b+1)]/2=6 ∴根号a+根号下b+1的最大值是根号6

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梅耿倍司： a,b均为正数,a+b=2,b=2-a,W=根号(a^2+4)+根号(b^2+1)=根号(a^2+4)+根号(a^2-4a+5) 取导W '=a/根号(a^2+4)+(a-2)/根号(a^2-4a+5)=0有极值,化为 a^2(a^2-4a+5)=(a^2-4a+4)(a^2+4);(a^2-4a+4)a^2+a^2=(a^2-4a+4)a^2+4(a^2-4a+4)得3a^2-16a+16=0,(3a-4)(a-4)=0,a1=4/3,a2=4(不和题意舍去) b=2/3,W最小值=根号13

四会市19691191481： 若正数a,b满足a+b=2,则ab的最大值是 - ----- - ？
梅耿倍司： ∵正数a,b满足a+b=2, ∴2=a+b≥2 ab ,化为ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号. 则 ab 的最大值是1. 故答案为:1.

四会市19691191481： 已知a、b均为正数,a+b=2,求根号下(a^2+4)+根号下(b^2+1)的最小值 - ？
梅耿倍司： 晕,数学奥林匹克题!!!利用公式√(a+c)2+(b+d)2 ≤√a2+b2+√c2+d2 √(a+b)2+(2+1)2 ≤√a2+4+√b2+1 只有在 a/b=2/1时成立. 因为a+b-2,a=4/3,b=2/3,最小值为√13