e^iθ＝cosθ＋isinθ
这个叫欧拉公式，在高等数学中的级数部分，会讲到。它的证明是基于泰勒展开
其中
e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+……
若把ix看成x则
e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+……
而
cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+……
比较一下
e^(ix)马上就有e^(ix)=cos(x)+iSin(x)
你的错误在于直接把一些只是在实数范围内成立的结论，用在了复数范围了。
1的x次幂恒为1，这是在实数范围内得到了证明的。
但是在复数范围内就不一定了。
例如1的1/3次幂，即1的3次方根，在实数范围内，只有一个结果，就是1
但是在复数范围内，有三个结果：
1、cos2π/3+isin2π/3、cos4π/3+isin4π/3，这三个。
当然还有cos8π/3+isin8π/3，cos10π/3+isin10π/3等，但是这些也等于cos2π/3+isin2π/3和cos4π/3+isin4π/3
所以假设r=1/3这个实数
你直接就说1^（1/3）=1就不合适了。
而且更重要的是a^（n*m）=（a^n）^m这个式子，只是在a＞0的时候才成立的，就算是实数范围内，如果a＜0，就不一定成立了。
例如这样的式子（-1）=（-1）^1=（-1）^（2/2）=√（-1）²=√1=1
很明显，这种等式是错误的，其错误之处就在于当底数是负数时，a^（n*m）=（a^n）^m不一定成立。
所以a^（n*m）=（a^n）^m这个式子就连a＜0的时候都不一定成立，那么在复数领域也不一定成立也是很正常的事情了。
那么你依据a^（n*m）=（a^n）^m推导出来的e^iθ=e^（i2*pi*r)=(e^(i2*pi))*r=(cos(2*pi)+isin(2*pi))^r=1^r=1也就不对了。
而 e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的，你看到的证明是怎么回事呢？
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值，
那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+... 来定义，
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义（而且是出自两种不同的方式，却相互和谐的定义）
但是对三角函数，我们还只能处理实变量的情况，现在我们要继续推广出复变量的三角函数。
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的，定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i，Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了，不过此时的正余弦函数失去了“有界性”，即对任意的复数w，不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了。
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复数乘法的意义体现在复数的模与辐角上，这一点写成三角形式特别容易证明
z1=r1(cosa+isina)
z2=r2(cosb+isinb)
利用简单的三角公式，很容易证明 z1z2 的模就是 r1r2 ，而辐角就是两个复数各自辅角的和 a+b
也即 z1z2=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b))
注意模在复数乘法中的不变性是比较重要的一个性质，尽管写成三角形式它很显然，而它的另一面就是一个比较著名的恒等式：
z1=a+bi
z2=c+di
同样利用乘积的模等于模的乘积，有 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2
该恒等式能反映出的一个事实是，两个形如 x^2+y^2 的数的乘积，也能表示成类似的平方和，这在数论里有一定意义，详细可见 “费马平方和问题”。
这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开
其中
e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+……
若把ix看成x则
e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+……
而
cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+……
比较一下
e^(ix)马上就有e^(ix)=cos(x)+iSin(x)
高中的复数运算是局限于数值，并没有把它推广到所有的函数运算中，
所以 sin(a+bi)、cos(a+bi) 就无法理解了，这也和当初三角函数的定义完全脱开关系了，那个几何意义已经不存在了，
这些理论，可能涉及到复变函数理论，需要找数学专业教材《复变函数论》进一步学习，这本教材或类似的教材，有外国编的，也有中国人编的，这是大学数学专业至少本科内容，研究生也可以选择这个方向，专门研究这个理论，
这些复变函数的专业理论，不是一两句，四五句，或者十几句能说清楚的，
直接带进去计算就好了，不是你说的那个，实数可以部分可以先提出来
这样的样子就是个定义的形式
欧拉定律是什么
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）\/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）\/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如...
关于复数形式的问题,求大神解答。
在直角坐标系中，e^(iθ)表示单位长，与x轴夹角为θ 它表示的复数对于为cosθ+isinθ 所以e的iθ次方等于cosθ+isinθ
欧拉定理
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到: sinθ=(e^iθ-e^-iθ)\/2i cosθ=(e^iθ+e^-iθ)\/2 (3)三角形 设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=R^2-2Rr (4)多面体 设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数,例如 p=0 的多面...
量子化学中,对于平面单色波,如何将cos[2π\/h*(xP-Et)]转化成复指数形式...
其实这是个数学问题，利用欧拉公式，由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）\/2i cosθ=（e^iθ+e^-iθ）\/2 所以cos[2π\/h*(xP-Et)]={EXP[i2π\/h*(xP-Et)]+EXP[-i2π\/h*(xP-Et)]}\/2
什么叫棣莫弗公式?
复数乘方用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)n∈N.复数开方也用三角表示式来解比较简便.复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：(n次根号r){cos[(θ+2kπ)\/n]+isin[(θ+2kπ)\/n](k=0,1,2,...). n∈N.这...
复变函数复数转化
解：分享一种解法。利用欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，有cos4θ+isin4θ=e^(4iθ)，cos2θ-isin2θ=e^(-2iθ)，∴原式=[e^(8iθ)]\/[e^(-4iθ)]=e^(12iθ)=cos12θ+isin12θ。∴所要求的指数表示形式为e^(12iθ)、三角形式为cos12θ+isin12θ。供参考。
三角函数神级难度题目:求和:Sn=sin +sin(θ+α)+……+sin[θ+(n-1...
不知道对不对，你抄给你老师看吧，上面的e^(iθ)用到了复变函数。
re^iθ,e是自然底数吗?
需要有复变函数的初步知识，复数 z=re^iθ，其中 r=|z|，是 z 的模，θ 是 z 的复角，e 是自然对数的底，e^iθ 是模等于 1 个复数，z=re^iθ 的通俗写法是，z=r(cosθ+isinθ)
发现著名公式e[sup]iθ[ sup]=cosθ+isinθ的数学家是()
【答案】：D D[解析]欧拉公式e[sup]iθ[\/sup]=cosθ+isinθ，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。
请教欧拉公式e^jωt=cosωt+jsinωt,其中的j代表什么?具体请详细介绍...
j是虚数单位，等于-1的平方根。数学上一般用i表示，但在物理或电学中，为了避免和电流符号i混淆，改用j表示。数学中欧拉公式的表示是 e^(iφ)=cosφ+isinφ 你将等式两边分别用多项式级数展开，就知道等式成立了。
毋哑炉甘： 这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)!+…… 比较一下 e^(ix)马上就有e^(ix)=cos(x)+iSin(x)
蕲春县19784366347： e^iθ=cosθ+isinθ这个公式是怎么推导出来的 - ？
毋哑炉甘：[答案] 这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!...
蕲春县19784366347： 欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的,eiπ+1=0被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式... - ？
毋哑炉甘：[选项] A. - 1 2i B. 1 2i C. - 1 2 D. 1 2
蕲春县19784366347： 复数方程证明:e^(iθ)=cosθ+isinθ - ？
毋哑炉甘：[答案] 这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)/(2n)!+…… sinx=x-x^3/3!+x^5/5!...
蕲春县19784366347： 如何证明e^iθ=cosθ+isinθ谢谢! - ？
毋哑炉甘：[答案] 这个叫欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x^(2n)...
蕲春县19784366347： 欧位在1748年给出的著名公式eiθ=cosθ+isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一,其中,底数e=2.71828…,根据欧拉公式eiθ=cosθ - isinθ.任何一个复数... - ？
毋哑炉甘：[选项] A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
蕲春县19784366347： 关于欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ的计算问题 - ？
毋哑炉甘： 在复数域内,1^r 不一定等于 1,可能是单位圆上的一些点.
蕲春县19784366347： 关于复数形式的问题,我想请问一下复数的指数形式是怎么利用欧拉公式推导得来的,为什么e的iθ次方等于cosθ+isinθ? - ？
毋哑炉甘：[答案] 在直角坐标系中,e^(iθ)表示单位长,与x轴夹角为θ 它表示的复数对于为cosθ+isinθ 所以e的iθ次方等于cosθ+isinθ
蕲春县19784366347： e^iθ=cosθ+isinθ; Eular's Equation我不会证明,谁能帮我证明一下, - ？
毋哑炉甘：[答案] 我来试试吧.欧拉公式,在高等数学中的级数部分,会讲到.它的证明是基于泰勒展开 其中 e^x=1+x+x^2/2!+……+x^n/n!+…… 若把ix看成x则 e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+…… 而 cosx=1-x^2/2++x^4/4!+……+(-1)^n*x...
