如何计算等差数列的前n项和？

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公式：

设原数列首项为a,公差为d,

原数列依次为a,a+d,a+2d,a+3d,.,a+2nd

奇数项为：a,a+2d,a+4d,.,a+2nd

奇数项和：S奇 = [a + (a+2nd)](n+1)/2 =(a+nd)(n+1)

偶数项为：a+d,a+3d,a+5d,.,a+(2n-1)d

偶数项和：S偶 = [(a+d) + (a+2nd-d)]n/2 = (a+nd)

S奇/S偶 = (n+1)/n 

注意：

本题只需用到等差数列求和公式：(首项+尾项)×项数÷2

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

拓展资料：

等差数列的推论：

1、从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

2、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

3、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。

4、其他推论：

① 和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

证明：

p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)；

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；

因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

特殊性质：

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

例：数列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍。

等差中项：

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为A(r)。

当A(m),A(r),A(n)成等差数列时，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)为A(m)、A(n)的等差中项，且为数列的平均数。

并且可以推知n+m=2×r，且任意两项a(m)、a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n。则a(m+n)=0。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

参考链接：百度百科：等差数列

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青阳县19596426856： 求等差数列的前n项和的全部方法 - ？
訾振卡洛： (分组求和)Sn =(1+1)+[a^(-1)+4]+[a^(-2)+7]+……+[a^(1-n)+(3n-2)] =[1+a^(-1)+a^(-2)+……+a^(1-n)] + [1+4+7+……+(3n-2)] 前者为等比数列,公比为a^(-1) 后者为等差数列,公差为3 =[1-a^(-n)]/(1-a)+[1+(3n-2)]*n/2 =[1-a^(-n)]/(1-a)+(3n-1)n/2(裂项...

青阳县19596426856： 等差数列前n的和怎么求 - ？
訾振卡洛： 等差数列的通项公式为: an=a1n+(n-1)d 前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2

青阳县19596426856： 等差数列的前n项积如何求? - ？
訾振卡洛：[答案] a a+b a+2b.a+nb a*(a+b)*(a+2b).*(a+nb) b^n*(a/b)*(a/b+1)*(a/b+2).*(a/b+n) a/b=c b^n*[(c+1)*(c+2).*(c+n)]*c (c+1)*(c+2).*(c+n)的系数的规律如下 然后找规律

青阳县19596426856： 数列的前n项和的计算方法 - ？
訾振卡洛：[答案] 通项公式: 等差数列an = a1+(n-1)d 等比数列an = a1*q^(n-1) 求和公式: 等差数列前n项和Sn = n*a1 + n(n-1)/2 *d 等比数列前n项和Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) (q不等于1时) 当q=1时,等比数列前n项和Sn = n*a1

青阳县19596426856： 等差数列前n项和公式怎么应用啊? 求解! - ？
訾振卡洛：[答案] Sn=a1+(n-1)*d 其中:a1是第一项的值,n是项数,d是公差. 举例,2,4,6,8,10,…….这个等差数列的前100项的和是多少? 答:a1=2,d=2,n=100 Sn=2+(100-1)*2=200

青阳县19596426856： 差后等差的数列怎么求前n项和? - ？
訾振卡洛：[答案] 等差数列为一次多项式,差后等差的数列为二次多项式. 设其通项为:An=an^2+bn+c,a,b,c为常数. 则其求和公式为:Sn=an(n+1)(2n+1)/6+bn(n+1)/2+cn

青阳县19596426856： 等差数列的前n项和的这个怎么推导的 - ？
訾振卡洛： Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n(a1+an)]/2如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入得 Sn=na1+ [n(n-1)d]/2

青阳县19596426856： 等差数列前n项和组成的数列的前n项如何求就是说用等差数列前n项和作为新数列的元素组成数列,求其前n项和 - ？
訾振卡洛：[答案] S1+S2+S3+...+Sn=Tn =na1+(n-1)a2+(n-2)a3+...+an =[n+(n-1)+(n-2)+...+1]a1+[(n-1)+2(n-2)+3(n-3)+...+(n-n+1)(n-1)]d =[n(n+1)/2]a1+[n-1+2n-4+3n-9+...+n-1]d =[n(n+1)/2]a1+[n(n*n-1)/6]d 这应该是最简形式了

青阳县19596426856： 求等差数列/等比数列的前N项和 - ？
訾振卡洛： {bn}/{an}拆成2n/{an} - 1/{an} 即一个差乘bai比数列du与一个等比数列的差 所以和的zhi求法为 设和为S 所以S=[2/1+4/2..dao.+2n/2的(回n-1)答次方]-[1+1/2+1/4...+1/2 的 (n-1)次方] =[2/1+4/2...+2n/2的(n-1)次方] - [2 - 1/2的(n-1)...

青阳县19596426856： 等差数列第n项怎么求 - ？
訾振卡洛：[答案] 通项公式: An=A1+(n-1)d An=Am+(n-m)d 等差数列的前n项和: Sn=[n(A1+An)]/2 Sn=nA1+[n(n-1)d]/2 答得好给个顶起呗