谁知道怎样写一篇有关二次函数、一元二次方程的小论文？

关于一元二次方程和一元二次函数的论文~

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。如：一元二次方程与二次函数。
我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程，而形式为y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，很多题型都是以此来命题。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成一元二次方程。由此可见，方程中的很多知识点可以运用在函数中。下面，我们就它们间的具体运用详细的了解一下。
一、 配方法解方程与二次函数的应用关系
在解方程的四种方法就有一种用配方法来解方程的。而在二次函数中，我们经常要将一般形式 转化成 的样式，这个转化过程实际上就是对其进行配方，与方程配方相同。
例1：用配方法解方程
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
……
例2：指出函数 的顶点坐标。
解：
（5）
（6）
（7）
（8）
∴顶点为（－2，－17）
方程中的（1）、（2）、（3）、（4）四个步骤与函数中的（5）、（6）、（7）、（8）四个步骤的方法是完全一样的。可见，方程与函数密切相关。
我们通过课本的学习可知；二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有交点时，交点横坐标的值就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。
二、 一元二次方程根的判别式与二次函数的结合应用
在二次函数中，当函数与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0、△＝0和△0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根。
例3：判断二次函数y= x2－4x+3与x轴的交点个数
分析：因为二次函数与x轴的交点个数可由对应方程根的判别式△来确定。若△>0，则有两个交点；若△＝0，则有一个交点；若△0，所以有两个交点。
例4：试说明函数y= x2－4x+5，无论x取何值，y>0。
分析：第一种方法：用配方法将其化成y= （x－2）2 +1的形式来说明。（但如果系数取值不好，该方法就比较麻烦）
第二种方法：用△来说明，因为△＝－40，所以图象开口向上。于是，图象在x轴上方，因此无论x取何值，y>0。
例5：求证：不论m取什么实数，方程x2－（m2+m）x+m－2＝0必有两个不相等的实数根。
分析：这道题如果用常规做法，就是证明一元二次方程的△>0的问题。然而本题的判别式△是一个关于m的一元四次多项式，符号不易判断，这就给证明带来了麻烦，若用函数思想分析题意，设f（x）＝x2－（m2+m）x+m－2，由于它的开口向上，所以只要找到一个实数x0，使得f（x0）<0，就说明这个二次函数的图象与x轴有两个交点，问题就得到了解决。
注意观察，容易发现当x＝1时，f（1）＝1－（m2+m）+m－2＝－m2－1<0，故这个图象必与x轴有两个交点。
这就说明要证明的结论是成立的。
证明 略。
三、 一元二次方程中根与系数的关系在函数中的应用
例6：二次函数图象过点（－1，0）、（3，0），且与y轴交于（0，3），求函数解析式。
分析：此类题型的常规解法是待定系数法。然而在这里可以用根与系数的关系来解，因为（－1，0）、（3，0）实际在x轴上，所以－1和3是函数所对应方程的两个根。
解：设函数形式为
∵函数过点（0，3）
∴ c＝3
∴
又∵函数过点（－1，0）、（3，0）
即函数与x轴交点的横坐标是－1和3
∴

解得 a＝－1，b＝2
∴函数形式为y= －x2＋29x+3
很明显，此方法要比待定系数法简单。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处。在这里，我们只探讨这么多，更多的地方需要在实践中去慢慢体会。



论文格式:

1、论文格式的论文题目：（下附署名）要求准确、简练、醒目、新颖。
2、论文格式的目录
目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）
3、论文格式的内容提要：
是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。
4、论文格式的关键词或主题词
关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。
主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题分析，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。（参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》）。
5、论文格式的论文正文：
（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。
〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。主体部分包括以下内容：
a.提出问题-论点；
b.分析问题-论据和论证；
c.解决问题-论证方法与步骤；
d.结论。
6、论文格式的参考文献
一篇论文的参考文献是将论文在研究和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。
中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）
英文：作者--标题--出版物信息
所列参考文献的要求是：
（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。
（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。

函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。如：一元二次方程与二次函数。
我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程，而形式为y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，很多题型都是以此来命题。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成一元二次方程。由此可见，方程中的很多知识点可以运用在函数中。下面，我们就它们间的具体运用详细的了解一下。
一、 配方法解方程与二次函数的应用关系
在解方程的四种方法就有一种用配方法来解方程的。而在二次函数中，我们经常要将一般形式 转化成 的样式，这个转化过程实际上就是对其进行配方，与方程配方相同。
例1：用配方法解方程
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
……
例2：指出函数 的顶点坐标。
解：
（5）
（6）
（7）
（8）
∴顶点为（－2，－17）
方程中的（1）、（2）、（3）、（4）四个步骤与函数中的（5）、（6）、（7）、（8）四个步骤的方法是完全一样的。可见，方程与函数密切相关。
我们通过课本的学习可知；二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有交点时，交点横坐标的值就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。
二、 一元二次方程根的判别式与二次函数的结合应用
在二次函数中，当函数与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0、△＝0和△0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根。
例3：判断二次函数y= x2－4x+3与x轴的交点个数
分析：因为二次函数与x轴的交点个数可由对应方程根的判别式△来确定。若△>0，则有两个交点；若△＝0，则有一个交点；若△0，所以有两个交点。
例4：试说明函数y= x2－4x+5，无论x取何值，y>0。
分析：第一种方法：用配方法将其化成y= （x－2）2 +1的形式来说明。（但如果系数取值不好，该方法就比较麻烦）
第二种方法：用△来说明，因为△＝－40，所以图象开口向上。于是，图象在x轴上方，因此无论x取何值，y>0。
例5：求证：不论m取什么实数，方程x2－（m2+m）x+m－2＝0必有两个不相等的实数根。
分析：这道题如果用常规做法，就是证明一元二次方程的△>0的问题。然而本题的判别式△是一个关于m的一元四次多项式，符号不易判断，这就给证明带来了麻烦，若用函数思想分析题意，设f（x）＝x2－（m2+m）x+m－2，由于它的开口向上，所以只要找到一个实数x0，使得f（x0）<0，就说明这个二次函数的图象与x轴有两个交点，问题就得到了解决。
注意观察，容易发现当x＝1时，f（1）＝1－（m2+m）+m－2＝－m2－1<0，故这个图象必与x轴有两个交点。
这就说明要证明的结论是成立的。
证明 略。
三、 一元二次方程中根与系数的关系在函数中的应用
例6：二次函数图象过点（－1，0）、（3，0），且与y轴交于（0，3），求函数解析式。
分析：此类题型的常规解法是待定系数法。然而在这里可以用根与系数的关系来解，因为（－1，0）、（3，0）实际在x轴上，所以－1和3是函数所对应方程的两个根。
解：设函数形式为
∵函数过点（0，3）
∴ c＝3
∴
又∵函数过点（－1，0）、（3，0）
即函数与x轴交点的横坐标是－1和3
∴

解得 a＝－1，b＝2
∴函数形式为y= －x2＋29x+3
很明显，此方法要比待定系数法简单。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处。在这里，我们只探讨这么多，更多的地方需要在实践中去慢慢体会。



论文格式:

1、论文格式的论文题目：（下附署名）要求准确、简练、醒目、新颖。
2、论文格式的目录
目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）
3、论文格式的内容提要：
是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。
4、论文格式的关键词或主题词
关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。
主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题分析，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。（参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》）。
5、论文格式的论文正文：
（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。
〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。主体部分包括以下内容：
a.提出问题-论点；
b.分析问题-论据和论证；
c.解决问题-论证方法与步骤；
d.结论。
6、论文格式的参考文献
一篇论文的参考文献是将论文在研究和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。
中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）
英文：作者--标题--出版物信息
所列参考文献的要求是：
（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。
（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。

本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 .

一、理解二次函数的内涵及本质 .

二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 .

二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 .

1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 .

2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 .

总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 .

3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；

4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 .

三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 .

1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 .

2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 .

3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 .

四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 .

一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 .

从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 .

五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 .

用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .

〖教学目标〗
◆1,经历一元二次方程概念的发生过程.
◆2,理解一元二次方程的概念.
◆3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项.
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式.
◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点.
〖教学过程〗
合作学习
列出下列问题中关于未知数x的方程
①正方形的面积为80,边长为x,则可列出方程 .
②某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x,则可列出方程 .
引入新课
观察方程x2=80 和
两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)
练一练:1,判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2
② +x+3=0 ③ ④ ⑤
2,判断未知数的值,,是否是方程的根.
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(,,为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中,,分别称为二次项,一次项和常数项.,分别称为二次项系数和一次项系数.
思考:为什么,,可以为零吗
三,范例讲解:
例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
① ②
③ ④
解:① 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
② 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
③ 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
④ 移项,整理,得
这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项.
四,练习巩固:
1,方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号).
2,关于的一元二次方程的一个解是,则
3,判断下列各方程后面的两个数是不是它的解.
① ( )
② ( )
③ (3 , 1) ( )
④ () ( )
五,小结:
记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程;
化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项;
能判断的值是不是方程的解.

作业:见作业本
2.1一元二次方程(2)
【教学目标】
◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
◆2.会用因式分解法解一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程.
◆教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点.
【教学过程】
复习引入
1,将下列各式分解因式:
教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2,你能利用因式分解解下列方程吗
请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视.
之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题)
新课学习
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤:
教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书)
若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;
将方程的左边分解因式;
根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
2,讲解例2.
(1)解下列一元二次方程:
教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或",而不能用且.
(2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左,右两边,等式成立吗
(3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型:
①先变形成一般形式,再因式分解:
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式.
讲解例3.
解方程
在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范.
3,补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗
首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0.
三,巩固练习:
课本第32页课内练习.
四,体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗
先由学生自由发言,教师再投影演示:
1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.
4,用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5,数学思想:整体思想和化归思想.
五.课后作业
1.书本作业题
2.作业本
【板书设计】
屏幕
2.1一元二次方程(二)
——因式分解法解一元二次方程
1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为零;
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
2. 数学思想:整体思想和化归思想.
2.2一元二次方程的解法(1)
【教学目标】
◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.
◆2. 会用开平方法解一元二次方程.
◆3. 理解配方法.
◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:开平方法.
◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度.
【教学手段】
用多媒体powerpoint和黑板的形式.
【教学过程】
(一)引入新课
问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约AC=5千米.请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米
从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解,方程根的检验等起着复习巩固的作用.
(二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根.
如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念.
通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1,它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 ).2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法)
然后通过一系列,连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程.
例1,
(1 )

(2)

(3)
(4)
通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察,变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程.
(三),问题2:
把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数.
1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边.
2:方程两边同加上一个合适的数.
3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数.
4:最后用开平方法来解
即可引出配方法的概念.像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左,右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方.)
为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出.即突破本节课的难点.
(1)
(2)
(3)
最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方;
2:前提条件:二次项系数为1
例2,
(1)
(2)
再次总结:形如 (二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程.
具体的步骤有:
第一:移项.
第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方.
第三:再用开平方法来解方程.
(四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办 为下节课的教学打下了基础.
例3,
课堂小结
让学生回答1:用开平方法,配方法解一元二次方程的概念.2:用这两种方法解方程时,方程的特点.3:用这两种方法解方程时的步骤.4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项.
六,布置作业.
2.2一元二次方程和解法(2)
【教学目标】
◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.
◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.
【教学重点与难点】
◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.
◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程.
【教学过程】
一.复习旧知
用适当的方法解下列方程: 1,(x-2)2=3
2, x2+3x+1=0
请学生上来板演,老师点评归纳.
二.新课讲授
1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1
提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解
经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答.
教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题.即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程.
2.讲解例题
例3:用配方法解下列一元二次方程
(1)2x2+4x-3=0
(2) 3x2-8x-3=0
评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生容易发现,两个方程同解.再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归.
(2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以.
教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为:
(1)x2+px=-q(移);
(2)x2+px+() 2=-q+() 2(配);
(3)(x+)2= (化);
(4)解得x=- (解)
2,当二次项系数不为1时,则在 "移"之前先要有个"除",即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1.
练习:用配方法解下列方程
1.2x2-7x+5=0
2.-3n=1
3.x2-x-=0
练习:
一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米
三:小结
本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程.
本课时的难点是对二次项系数的处理.
四:布置作业
课本""作业本"及习题精选中对应的练习.
2.2一元二次方程的解法(3)
【教学目标】
◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程.
◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性.
2.培养学生快速而准确的计算能力.
◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.
2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美,简洁美,产生热爱数学的情感.
【教学重点与难点】
◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
【教学过程】
(一)复习引入
1.用配方法解下列方程.
(1)x2-7x+11=0,(2)9x2=12x+14.
(通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.)
2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0.
解:移项,得x2+2px=-q
配方,得x2+2px+p2=-q+p2
即(x+p)2=p2-q.

(教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a,
∵ a≠0, ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时.
从上面的结论可以发现:
(1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的.
(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根.
的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
(二)师生互动,应用新知
互动1
师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b2-4ac ≥0 , 那么b2-4ac<0时会怎样呢
生:当b2-4ac<0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解.
明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac0,
∴ x1=2,x2=1.
在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先"代"后"算".不要边代边算.引导学生总结步骤 1.确定a,b,c的值.2.算出b2-4ac的值.3.代入求根公式求出方程的根.
例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根,应写成x1=
例3用公式法解一元二次方程:
(1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0
其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2-4ac<0,方程无实数根.
明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式, 确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,把a,b,c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac<0,此时方程无解.
练习:P.35课内练习1.熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力.
互动3
请同学们根据学习体会,小结一下解一元二次方程的几种方法,通常你是如何选择的 请同学们交流,教师鼓励发言.
明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式.
练习:P.35课内练习2.合理选择解法.
(三)达标反馈,深化新知
(1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A)
A.x= B.x= C.x= D.x=
(2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是
(3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗:
x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0,

(四)总结及布置作业
引导学生从以下几个方面总结:
≥0).
(2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式.②确定a,b,c的值.③算出b2-4ac的值.④代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单.
2.求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解,如果b2-4ac<0时,则在实数范围内无实数解.渗透一种分类的思想.
2.3一元二次方程的应用(2)
【教学目标】
◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.
◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.
【教学重点与难点】
◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.
◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点.
【教学过程】
1.复习提问,
(1)列方程解应用题的基本步骤
答: ①审题;
②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量;
③找出所涉及的基本数量关系;
④列方程;
⑤解方程;
⑥检验.
2.新课讲解,
列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.
如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少
分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程.
解 设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得

化简,整理,得
解这个方程,得 (不合题意,舍去)
答:纸盒的高为5cm.
接下来,同学们来做一下课内练习题1.
围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽.
解: 设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得

化简,整理,得
解这个方程,得
答:略.
合作学习:
一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km.
如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断
如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响区
建议:
①假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置;
②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程;
③通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确;
④讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样
提示:①几何画版给出演示;
②若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C'点,台风中心到达B'点,那么船是否受到台风影响与什么有关
③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响
④你能用关于t的代数式表示B',C'两点之间的距离吗
⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗
解答(略)
练习
练习:P40——课内练习2
补充练习:P40---作业题5

课堂小结:
体会如何根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.从中学到了什么

---

图木舒克市18962409174： 谁知道怎样写一篇有关二次函数、一元二次方程的小论文? - ？
古芬怡维： 本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 . 一、理解二次函数的内涵及本质 . 二次函数 y=ax2 + bx + c ( a ≠ 0 , a 、 b 、 c 是常数)中含有两个变量 x 、 y ,我们只要先确定其中一个变量,就可利用解析式求出另一个变量,即得到一组解;而一组解...

图木舒克市18962409174： 一元二次函数的论文怎么写??有范文给下？
古芬怡维： 一元二次函数综合问题浅析 摘要: 在历届高考试题解析与应注意的问题中,一元二次函数 占有重要的地位,不管在代数中,解析几何中,利用此函数的机会特别多,同时各种数学思想如函数的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想,等价转...

图木舒克市18962409174： 谁能帮我写个关于二次函数和一元二次方程的论文？
古芬怡维： (1). 因为方程x^2-4x+m=0有两个正整数解 所以 m 可分解为:-2、-2和-1、-3这两种情况 由三角形三边关系得:b=3 ,如图: 作BD⊥AC于D ,设AD=x ,则CD=3-x , 由勾股定理得:25-x^2 = 9-(3-x)^2 解得:x= 25/6 ,所以sinA=x/5 = 5/6 (2).设售...

图木舒克市18962409174： 求,写一篇有关二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的区别于联系的小论文 - ？
古芬怡维： 函数与方程是初中数学中两个最基本的概念,它们的形式虽然不同,但本质上是相互连接的,有密切关系.如:一元二次方程与二次函数.我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程,而形式为y= ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)是二次函...

图木舒克市18962409174： 数学小论文“有关二次函数、一元一次方程、一元一次不等式的区别与联系”？
古芬怡维： 相同: (1)表达它们的都是式子:函数式、方程式、不等式 ; (2)它们都含有类似的代数式:ax²+bx+c ; (3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元); (4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次 . ——————————————...

图木舒克市18962409174： 二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的区别与联系 - ？
古芬怡维： 二次函数就是y=ax^2+bx+c的类型,其中a不等于0;一元二次方程是ax^2+bx+c=0的类型,a也不能等于0;一元二次不等式是在一元二次方程的基础上,只是等号变成了不等号.方程求解就是在函数图像上所对应点的求法,不等式形容的是一个区域,也可以根据二次函数来判断不等式的解,在二次线性规划中会运用到.

图木舒克市18962409174： 二元一次函数的写法 - ？
古芬怡维： 叙述中,明显是一元二次函数. 通常求一元二次函数的解析式的时候,没有特殊要求,都是按照习惯写成一般式.就是y=ax²+bx+c.如果有特殊要求,可以写成其他形式.

图木舒克市18962409174： 急:高一数学论文 - ？
古芬怡维： 二次函数是抛物线,一元二次方程是某条抛物线与某条直线的交点,一元二次不等式则是某条抛物线在某条直线的上方还是下方.可以从平面直角坐标系中去探讨

图木舒克市18962409174： 怎么用C#编写一个一元二次函数 - ？
古芬怡维：static void Main(string[] args) { Console.WriteLine(＂一元二次方程格式:y=a*x*x+b*x+c＂); Console.WriteLine(＂请输入x的值:＂); int x = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); Console.WriteLine(＂请输入a的值:＂); int a = ...

图木舒克市18962409174： 急求关于一元二次方程,二次函数,一元二次不等式的区别与联系的数学论文 - ？
古芬怡维： 二次函数我们已经在初三的时候学过了,但听学姐说,高中还要继续学习二次函数.我原以为这东西已经被我们搞得很彻底了,没想到……真是神奇的二次函数啊! 作为最基本的初等函数,它既简单又具有丰富的内涵和外延.可以以它为素材来...