等腰三角形的性质定理和判定定理分别是什么

等腰三角形的性质定理和判定定理分别是什么？~

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
(即等边对等角）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
3、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
扩展资料：
等腰直角三角形的边角之间的关系
：
（1）三角形三内角和等于180°。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。
有关问题的证明：
已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，
求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。
证明：AC=a-AB
根据余弦定理
BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA
BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4
所以当AB=a/2时，BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以当周长最短时的三角形是正三角形。

首先判断等腰三角形，最基本的应该是根据定义。所有的一切都应该从定义出发。

而等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形是等腰三角形。所以知道了两个边相等，当然就是等腰三角形了。

至于两角相等的三角形是等腰三角形，那只是已经证明了相等的角对应相等的边。所以两角相等的三角形，必然两边相等。所以根据定义，两角相等的三角形是等腰三角形。也就是说两角相等，所以是等腰三角形的判定定理还是根据有两条边相等的三角形是等腰三角形来证明出来的。

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等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 (即等边对等角）

等腰三角形的判定定理：

1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

3、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

扩展资料：

等腰直角三角形的边角之间的关系 ：

（1）三角形三内角和等于180°。

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。

有关问题的证明：

已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a，

求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。

证明：AC=a-AB

根据余弦定理

BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA

BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4

所以当AB=a/2时，BC=a/2最小

AC=a-a/2=a/2

这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短

AB=AC=BC=a/2

所以当周长最短时的三角形是正三角形。

一、性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

二、判定的方式

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：

1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。

显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。

4、有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。

扩展资料

三角形分类

判定法一：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

判定法二：

1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。

参考资料来源：百度百科-等腰三角形

一、性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 。

二、定理

有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

三、判定定理

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

扩展资料：

分类

一、等腰直角三角形

1、定义

有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

2、关系

等腰直角三角形的边角之间的关系 ：

（1）三角形三内角和等于180°。

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。

3、四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。

（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。

（2）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（3）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

（4）三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。

（5）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

（6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。

备注：

①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）。

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

二、等边三角形

1、定义

所谓的等边三角形，是三边都相等的等腰三角形。

2、性质

（1）每个角都为60°，三角形三内角和等于180°。

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

参考资料来源：百度百科-等腰三角形

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

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宣武区13474617916： 等腰三角形性质定理和判定定理 - ？
柞狄阿美： 定义:有两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等. (简写成“等边对等角”) 等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“三线合一”)等腰三角形的两底角的平分线相...

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宣武区13474617916： 等腰三角形的判定定理和性质定理 - ？
柞狄阿美：[答案] 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一...

宣武区13474617916： 等腰三角形的性质以及判定 - ？
柞狄阿美：[答案] 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两底角相等,简称＂等边对等角＂. 等腰三角形为轴对称图形,因此等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等. 等腰三角形的判定: 1.定义:有两边相等的三角形是等腰三角形; 2.判定...

宣武区13474617916： 啊喔.这里是数学.等腰三角形的性质定理及判定定理分别是什么? - ？
柞狄阿美：[答案] 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的...

宣武区13474617916： 等腰三角形的性质定理和判定定理有什么区别 - ？
柞狄阿美：[答案] 性质是说,有一个等腰三角形,那么会有怎样怎样的结论. 判定是说,若有怎样怎样的条件,则可以得出这是等腰三角形

宣武区13474617916： 等腰三角形定义和性质 - ？
柞狄阿美：[答案] 等腰三角形 定义:两边相等的三角形是等腰三角形. 性质:①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等; ③等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合.(简称为＂三线合一＂).

宣武区13474617916： 等腰三角形的性质和判定方法的区别 - ？
柞狄阿美： 1.等腰三角形定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的性质: 定理 等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”). 推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一). 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.3.等腰三角形的判定: 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 推论1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2 :有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 推论3: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角等于斜边的一半.

宣武区13474617916： 等腰三角形的性质和判定定理的区别? - ？
柞狄阿美： 首先判断等腰三角形,最基本的应该是根据定义.所有的一切都应该从定义出发. 而等腰三角形的定义是:有两条边相等的三角形是等腰三角形.所以知道了两个边相等,当然就是等腰三角形了. 至于两角相等的三角形是等腰三角形,那只是已经证明了相等的角对应相等的边.所以两角相等的三角形,必然两边相等.所以根据定义,两角相等的三角形是等腰三角形.也就是说两角相等,所以是等腰三角形的判定定理还是根据有两条边相等的三角形是等腰三角形来证明出来的. 愿我的回答对你有帮助!如有疑问请追问,愿意解疑答惑.如果明白,并且解决了你的问题,请及时采纳为满意答案!如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢.

宣武区13474617916： 等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系 - ？
柞狄阿美：[答案] 性质:是已知三角形是等腰三角形,利用等腰三角形三线合一,底角相等、两腰相等的性质 判定:根据已知条件,判定所给三角形是等腰三角形,一般是2个底角相等或者两个腰相等或根据三线合一