如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是AD,PC的中点
(Ⅰ)证明:在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点, ∴EF∥BC, 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD 平面PAD,EF 平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则EG⊥平面ABCD,且 , 在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,∴ ,∴ ,∴ 。
解:(1)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD= ,四边形ABCD是矩形 ∴A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0), , , 又E,F分别是AD,PC的中点∴ ∴ ∴ ∴PC⊥BF,PC⊥EF,又BF∩EF=F, ∴PC⊥平面BEF。 (2)由(1)知平面BEF的法向量 平面BAP的法向量 ∴ 设平面BEF与平面BAP的夹角为θ则 ∴θ=45°∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°。
解法一 (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。
∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2)
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。
∴ =(2,2 √ 2,-2) =(-1,√ 2,1) =(1,0,1),
∴ • =-2+4-2=0, • =2+0-2=0,
∴ ⊥ , ⊥ ,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF
(II)由(I)知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,
则
∴ θ=45℃, ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45
解法二 (I)连接PE,EC在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形,
又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,
又 ,F是PC 的中点,
∴BF⊥PC.
又
题目有问题吧,
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°.侧面PAD是一等边...
平面PAD,MN不包含于平面PAD,∴MN∥平面PAD.…(8分)(3)解:由前证明可得:PG垂直于平面ABC,AD垂直于平面PGB,得到:AD垂直BG和BP,又AD平行于BC,即得:BC垂直于BG和BP,则二面角A-BC-P的平面角为∠PBG.∵△ABD为等边三角形,侧面PAD是一等边三角形,∴在三角形PBG中,∠PBG=45°,...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60...
又知AM⊥面PBD,所以AM⊥MN,即△AMN为直角△ 在直角△PAO中 有PA*AO=AM*PO,而易知AO=根号3,又PO²=PB²-BO²=8-1=7 所以AM=2(根号3)\/(根号7) 而等腰直角△PAD中,易知AN=根号2 所以sin∠ANM=AM\/AN=(根号6)\/(根号7) =>cos∠ANM=(根号7)\/7 即二面角A-PD-B...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC...
由此可知此正方形的边的长度,根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标,分别求出平面 和平面 的法向量的坐标,根据二面角与其法向量夹角的关系,求得二面角的余弦值,再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.试题解析:(1)证明 ∵ , ,∴ .2分同理由 ,可证得 .又 ,∴ ...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的棱形,∠ABC=60°,EF分别...
在菱形ABCD中∠ABC=60°,∴AB=AC=AD=2,PB=PC=PD=4,∴P在平面ABCD的射影是△BCD的外心A,∴PA=√(PB^2-AB^2)=2√3,F是CD的中点,∴AF⊥CD.分别以AB,AF,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),F(0,√3,0),C(1,√3,0),P(0,0,2√3),E(1,0,√3),向量E...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90 O ,PA...
可以算出无解,所以不存在符合要求的解. 试题分析:(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0)M(1, ,1),N(1,0,1),E(0,m,2-m),P(0,0,2) (2,0,-2), (1,- ,1),...
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,PA⊥PD,底面...
解答:解:(1)在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得OC⊥AD;所以以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0...
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,E为PC的中点.(1)求证:BE∥平面P...
解答:(1)证明:取PD中点F,连结EF,AF,∵在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,E为PC的中点,∴EF∥.12DC,∴EF∥.AB,∴四边形ABEF是平行四边形,∴AF∥BE,又AF?平面PAD,BE不包含平面PAD,∴BE∥平面PAD.(2)证明:∵AB⊥平面PAD,PA?平面PAD,AD?平面PAD,∴AB⊥PA,AB⊥AD,...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AD垂直AB,AB平行DC,AD=DC=AP...
•DC =0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量 BF 的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F-AB-P的余弦值.解答:证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=PD...
以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz. 由PA=PD=AD=2,则有A(1,0,0), B(0, 3 ,0) , P(0,0, 3 ) .设平面MQB的法向量为 n =(
(2014?浙江二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠...
DH2=22a,又∵BD2+AD2=4a2=AB2,∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°∴HB=DH2+DB2=102a,∴在Rt△PHB中,tan∠PBH=PHHB=55…(10分)(Ⅲ)解:在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点,连结PG,则HG是PG在平面ABCD上的射影,故PG⊥AB,∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角,由AB=2a…...
汉牵麝香:[答案] (1)证明:取BC的中点M,连结AM,PM. ∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABM为正三角形,∴AM⊥BC. 又PB=PC,∴PM⊥BC,AM∩PM=M, ∴BC⊥平面PAM,PA⊂平面PAM,∴PA⊥BC, 同理可证PA⊥CD, 又BC∩CD=C,∴PA⊥平面ABCD.…(4分). (2...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=AC=2,PB=PD=根号6.若点E在PD上,且PE=2ED,F为PC的中点,求证BF平行平面ACE - ?
汉牵麝香:[答案] 证明: 连接FD,BD 设FD交EC于G BD交AC于H 连接HG 易知H为BD中点 又因为FG=GD 所以G是FD中点 所以GH是FB的中位线 所以FB平行GH GH∈面EAC 所以FB平心面EAC
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是菱形 PA垂直平面ABCD,AB=1,PA*AC=1,角ABC=90度,E为PC的中点,求异面直线PA与BR所成的角的大小 - ?
汉牵麝香:[答案] 由面ABCD是菱形且角ABC=90可知ABCD是一正方形,边长为1,则AC=根号2,又PA*AC=1,所以PA=2分子根号2 PA垂直于底面 过E作EF垂直于AC,则EF平行于pa ∠FEB即为异面直线PA与BR所成的角 知EF垂直于底面且E即为AC中点,EF=4...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为直角梯形, , ,平面 底面 , 为 中点,M是棱PC上的点, .(1)若点M是棱PC的中点,求证: 平面 ;(2)求证... - ?
汉牵麝香:[答案] (1)见解析;(2)见解析;(3)3. 试题分析:(1)连接AC,交BQ于N,连接MN,在三角形PAC中,利用中位线定理证明PA... ":{id:"45556010d3714a5060673fb6b5ff2c2e",title:" 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形, , ,平面 ...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD.(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由;(2)若PA=AD=AB,试求PC与... - ?
汉牵麝香:[答案] 好吧,应该是. 连接AD,因为,PA垂直平面ABCD,AD属于平面ABCD,所以BD垂直于PA; 因为ABCD为矩形,BD垂直于AC,AC属于平面PAC,所以BD垂直于AC 所以BD垂直于平面PAC (2)因为AC垂直于BD,相交于O,AC属于平面PAC,BD属于...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥DC,DC=4,∠DAB=60°,侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形,M为线段PC的中点.(Ⅰ)求... - ?
汉牵麝香:[答案] (1)证明:取AB中点Q,连结DQ,PQ,∵AD=BD,∴AB⊥DQ,同理AB⊥PQ,∴AB⊥平面PDQ,∴AB⊥PD.…(4分)(2)过P作PO⊥平面ABD于O,PE⊥CB交CB的延长线于E,连结OE,连结AO并延长交BD于F,则BC⊥OE,∴∠PEO为二面...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,点E、F分别是棱PC和PD的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,证明... - ?
汉牵麝香:[答案] (本题满分为12分) (1)证明:因为点E、F分别是棱PC和PD的中点, 所以CD∥EF. 因为底面ABCD是矩形, 所以AB∥CD.可得:AB∥EF, 又因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, 所以EF∥平面PAB.…(6分) (2)证明:在矩形ABCD中,CD...
将乐县13062353815: 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA垂直底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC的中点(1)求证:EF平行于平面PAB(2)求点F... - ?
汉牵麝香:[答案] 几何法: (1)连接BD ∵四边形ABCD是正方形,F是AC中点,∴F是BD中点 ∵E是PD中点,∴EF∥PB ∴EF∥面PAB (2)S△FAB=S正方形ABCD/4=1/4 取AD中点G,连接EG,则EG是△PAD的中位线 ∴EG∥PA,EG=PA/2=1/2 ∵PA⊥面ABCD,...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,若E、F分别为PC、BD的中点.(1)求证:EF∥平... - ?
汉牵麝香:[答案] (1)证明:连接AC,则F是AC的中点,在△CPA中,EF∥PA,…(2分) ∵PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD, ∴EF∥平面PAD …(4分) (2)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,…(7分) 又CD...
将乐县13062353815: 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是AD,PC的中点1.证明PC⊥平面BEF2.求平面BEF与平... - ?
汉牵麝香:[答案] 解法一 (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形. ∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点, ∴...