,△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,D为AB中点,E,F分别在AC、BC上，且DE⊥DF.求证：AE^2+BF^2=EF^2

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2~

证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．

证明：①连结AD ∵ ∠BAC=90° 为BC的中点 ∴AD⊥BC BD=AD ∴∠B=∠DAC=45° 又BE=AF ∴△BDE≌△ADF （SAS） ∴ED=FD ∠BDE=∠ADF ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90° ∴△DEF为等腰直角三角形 ②若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示。连结AD∵AB=AC ∠BAC=90° D为BC的中点 ∴AD=BD AD⊥BC ∴∠DAC=∠ABD=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° 又AF=BE ∴△DAF≌△DBE （SAS） ∴FD=ED ∠FDA=∠EDB ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90° ∴△DEF仍为等腰直角三角形

解一:

证明:
以D为圆点,DB为半径,将DB边逆时针旋转180度,此时BD边和AD边重合
B点和A点重合,记F点旋转到F'
∴AF'=FB,DF=DF',∠ADF'=∠FDB
∵D是AB边的中点，
∴此时B点和A点重合
∵Rt△ABC中,∠C是Rt角
∴∠A和∠B互余
∴∠CAF'=90度
∴在Rt△AEF'中,AE方+F'B方=EF'方
∵DF=DF',且∠ADF'=∠FDB
∴ED垂直平分FF'
∴EF=EF'
∴AE方+AF'方=AE方+FB方=EF'方=EF方
命题得证

解二:

连接EF、DE、DF。作辅助线CD
证明△ADE全等于△CDF
因为∠EAD=∠FCD=45 AD=CD ∠EDA=∠FDC
所以△ADE全等于△CDF
所以AE=CF 又因AC=BC 所以CE=BF
因为CF的平方+CE的平方=EF的平方
所以AE的平方+BF的平方=EF的平方

∠bdf+∠ade=90
连接cd，因为d是中点，所以cd垂直ab，∠B=45° 所以cd=ad=bd
∠bdf+∠cdf=90
所以∠cdf=∠ade
∠aed+∠dec=180
∠dfc+∠dec=180
所以∠aed=∠dfc
ad=dc
角角边
△aed 全等 △cfd
ae=cf
所以bf=ec
AE^2+BF^2=cf^2+ec^2=EF^2

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壤塘县15250405430： (2010•大连一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,∠B=40°,∠DAC=20°,则∠BAD=______度. - ？
富虾安洛：[答案] 在△ABC中,∠C=90°,∠B=40°, ∴∠BAC=90°-40°=50°, ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠DAC=20°, ∴∠BAD=50°-20°=30°,即∠BAD=30°.

壤塘县15250405430： 如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60° BC=3,求∠A、b、c和cotA的值. - ？
富虾安洛：[答案] ∵∠C=90°,∠B=60° ∴∠A=30° ∴c=6, ∵cos30°= 3 2= AC AB ∴b=3 3,cotA= AC BC= 3.

壤塘县15250405430： 在△ABC中,若∠C=90°,∠B - ∠A=28°,则∠B=? - ？
富虾安洛： 角B+角A=90 角B-角A=28 得2倍角B=118 角B=59 角A=31

壤塘县15250405430： 在直角△ABC中∠C=90°,∠A=35,则∠B=( )° - ？
富虾安洛： ∠C+∠A+∠B=180° 所以∠B=180-90-35=55° 希望对你有帮助

壤塘县15250405430： 如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=4,则AB= - ----- - ？
富虾安洛： ∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=90°-60°=30°, ∴BC=12 AB, 而BC=4, ∴AB=2*4=8. 故答案为8.

壤塘县15250405430： 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,点D,E,F分别在BC,AC,AB上(点E,F不于三角形ABC顶点重合)AD平分∠CAB,EF⊥AB,垂足为H.1.... - ？
富虾安洛：[答案] (1)因为∠B=30°,∠C=90°所以AB=2AC=12 BF=y=AB-AF=12-AF; 因为EF⊥AB,∠A=60°,所以∠AEF=30°,所以AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X) 所以y=12-1/2(6-X)=9+1/2x,0

壤塘县15250405430： 在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A与∠B的和为多少度?请说明理由! 由上面的证明你能得到什么结论. - ？
富虾安洛： 因为三角形内角和为180度,所以∠A与∠B的和=180-90=90度.结论就是直角三角形的两个锐角之和相等于直角.(希望能帮到你就给我一个““被采纳”的机会吧!谢谢!)

壤塘县15250405430： 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧交AB于M、AC于N,再分别以M、N为圆心,大于 1 2MN的长为半径画弧,两弧交... - ？
富虾安洛：[选项] A. 只有①②③ B. 只有①②④ C. 只有①③④ D. ①②③④

壤塘县15250405430： 如图 在三角形abc中 ∠c=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,BD=2cm,求AC的长?？
富虾安洛：解∵在三角形abc中 ∠c=90°,∠B=30° ∴∠A=180°-90°-30°=60° 又∵AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E ∴AD=BD,∵BD=2cm ∴AD=2cm 又∵∠AED=∠ACD=90°,∠DAE=∠B=30°,∴∠CAD=60°-30°=30° 所以根据30°角所对过去的边是斜边的一半可得CD=1,再根据勾股定理便得AC=根号下2的平方-1的平方=根号3 谢谢望采纳并点评!

壤塘县15250405430： 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,CD=2cm,则BD的长是 - ----- - ？
富虾安洛： ∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=90°-30°=60°,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=1 2 *60°=30°,∴AD=2CD=2*2=4cm,又∵∠B=∠ABD=30°,∴AD=BD=4cm. 故答案为:4cm