证明:余弦定理
用勾股定理推出
将式子代入相加就明白了
用勾股定理推导余弦定理,好简单!
对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明:
如图:
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 (证明中前面所写的a,b,c皆为向量,^2为平方)拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开,得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
同理可证其他,而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。
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平面几何证法:
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。
同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
这是百度上的,有些时候自己百度下就好了,希望能帮到你
余弦定理证明
平面向量证法
∵如图,有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) (以上粗体字符表示向量) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式) 再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
向量法:在三角形ABC中 AB向量+BC向量=AC向量 两边平方 |AB|^2+|BC|^2+2
|AB|*|BC|cosα=|AC|^2 α是∠ABC的补角 所以|AB|^2+|BC|^2-2
|AB|*|BC|cos∠ABC=|AC|^2 即余弦定理 这是较为简洁的证法
用 向量 正
余弦定理公式是什么?
余弦定理表达式1:同理,也可描述为:余弦定理表达式2:余弦定理表达式3(角元形式)
怎么证明余弦定理?
余弦定理公式:cosA=(b²+c²-a²)\/2bc,cosA=邻边比斜边。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。余弦定理含义:余弦定理,欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三...
余弦定理公式证明
余弦定理公式证明是:向量法、三角函数法、辅助圆法作图。一、向量法 向量余弦公式:cosA=b\/c,也可写为cosa=AC\/AB。余弦是三角函数的一种。在Rt△ABC(直角三角形)中,∠C=90°,∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边。余弦定理,欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个...
叙述并证明余弦定理。
解:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或:在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,有 , , 。证明:如下图, ,即 ;同理可证 , 。
如何证明三角形的正弦定理、余弦定理
正弦定理公式、余弦定理公式 一、正弦定理公式 a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC=2R。【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中,三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。二、正弦定理推论公式 1、(1)a=2RsinA;(2)b=2RsinB;(3...
余弦定理的十一种证明方法
余弦定理:三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与其夹角余弦的积的二倍。如图1所示,在△ABC中,若AB=c,BC=a,CA=b,则有:c2=a2+b2-2abcosCa2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB.【证法1】如图2,在锐角△ABC中,作AD⊥BC于D,则CD=bcosC,AD=bsinC,在△...
正弦定理,余弦定理的证明
余弦定理证明:在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得:AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2...
证明正弦定理和余弦定理
1、证明正弦定理 因 h=AB*sinB=AC*sinC,即:c*sinB=b*sinC 整理,得:b\/sinB=c\/sinC,同理可得:c\/sinC=a\/sinA,故证得正统定理:a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC,2、证明余弦定理 在三角形ABD中,AB^2=AD^2+BD^2 =h^2+(BD)^2 =[AC^2-(CD)^2]+(BD)^2 =b^2-(a-c*cosB)^2+(c...
余弦定理怎么证明的?
1、在三角形中,两边之和大于第三边,∴b+c>a,∴a+b+c>2a。2、余弦定理:b^2+c^2-2bccosA=a^2,∴(b+c)^2-2bc(1+cosA)=a^2。很显然,b、c都是正数,∴b+c≧2√(bc),∴(b+c)^2≧4bc。3、三角形周长的取值范围是(2a,a+a\/sin(A\/2)],其中a...
余弦定理怎么证明?
余弦定理证明方法如图所示:平面向量证法:∵如图,有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)。∴c·c=(a+b)·(a+b)。∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)。(以上粗体字符表示向量)。又∵Cos(π-θ)=-Cosθ...
房亭依西:[答案] 在△ABC中,AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosCa^2=b^2+c^2-2bc*cosAb^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推.过A作AD⊥BC于D ,则BD+CD=a 由勾股定理...
三水区13319843971: 叙述并证明余弦定理 - ?
房亭依西: 余弦定理:对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积.余弦定理证明:在任意△ABC中,做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a .则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=...
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房亭依西:[答案] 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)...
三水区13319843971: 证明:余弦定理 - ?
房亭依西: 如果小于第三边的平方,那么第三边所 对的角是钝角,可以判断三角形形状,那么第三边 所对的角是锐角.即,利用余弦定理.这是百度上的,有些时候自己百度下就好了,AD=sinB*c;2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角...
三水区13319843971: 正弦定理和余弦定理的证明 - ?
房亭依西:[答案] 正弦定理 证明 步骤1 在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理,在△ABC中,b/sinB=c/sinC 步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:如图,任意...
三水区13319843971: 余弦定理证明题 - ?
房亭依西: 由余弦定理:a²=b²+c²-2bccosA① b²=a²+c²-2accosB② ①-②,得 a²-b²=b²-a²-2bccosA+2accosB 则2(a²-b²)=2c(acosB-bcosA) 所以a²-b²=c(acosB-bcosA)
三水区13319843971: 叙述并用坐标法证明余弦定理. - ?
房亭依西:[答案] 余弦定理:在△ABC中,设三个内角A、B、C所得边分别为a、b、c,则有:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2 =a2+b2-2abcosC.证明:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(b...
三水区13319843971: 余弦定理的证明教案(余弦定理的证明) ?
房亭依西: 1、作任意三角形ABC,记BC=a,AC=b,AB=c,BC的对角为,过b时在d点作BDAC2、有两个直角三角形RtABD和RtBDC.3、BD=csin,AD=ccos,CD=b-ccos4、根据勾股定理,BD 2 CD 2=BC 25、(csin)^2(b-ccos)^2=b^2-2bccosc^2[(sin)^2(cos)^2]=b^2-2bccosc^2=a^2.6、即可以证明余弦定理a 2=b 2c 2-2bc cos .7、余弦定理的其他公式也可以用同样的方法证明.
三水区13319843971: 试用坐标法证明余弦定理. - ?
房亭依西:[答案] 答案:解析: 探究:第一步:建立坐标系(不妨设ABC三点为逆时针方向) 以A为坐标原点,AB为x轴建立坐标系.则A(0,0),... 同理:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC完成证明. 探究小结:坐标法是将几何问题转化为代数计算的重要手段,通...
三水区13319843971: 怎样用坐标法证明余弦定理?如题. - ?
房亭依西:[答案] 余弦定理的三次推导(高中数学)2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学,每轮教学时,都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进,争取在原有基础上有所突破.下面是笔者...