mx ny=4f(x)线相交于点O求解
三角形中心问题：
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
平行四边形：⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
⑵如果一个四边形的对角线互相平分，
那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补
⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
如图；
平行四边形中常用辅助线的添法
一、连对角线或平移对角线
二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
梯形：
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形（但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断）
等腰梯形在同一底上的两个底角相等
等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过上下底中点的直线
等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）=上下底和的2分之一
梯形的面积公式是：（上底+下底）*高 /2。
用字母表示：（a+b）*h/2
梯形的周长公式是:一圈加.
矩形：1.矩形的四个角都是直角
2.矩形的对角线相等且互相平分
3.对边相等且平行
4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
5.矩形是轴对称图形，对称轴是任何一组对边中点的连线
菱形：
对角线互相垂直且平分；
四条边都相等；
对角相等,邻角互补；
每条对角线平分一组对角．
菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线
圆形：
没什么好说的。
椭圆：是最麻烦的图形，高中主要考的图形。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b)
2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b)
其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt, 其中a为椭圆长半轴,e为离心率
椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则
e=PF/PL
椭圆的准线方程
x=±a^2/C
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c
椭圆焦半径公式 x=a+ex1 x2=a-ex1
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a
点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直线与椭圆位置关系
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相离△＜0无交点
相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=abs(1+k^2)|x1-x2|
椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a
补充：
关于三角形重心的几个重要定理
1.重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心的性质：
1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定律证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定律成立！
三角形的三条内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定律其实极易证。
性质：
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
还有1个重要的性质：
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做旁心。
性质：
每个三角形都有三个旁心。
它到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
(1)一般情况是两个：三角形MOB和三角形NOC
(2)就是3 (BM=MO CN=NO)
(3)40度
角BOC为110度，角OBC+OCB=70度
角OMN+角ONM=140度
角MON就是40度了
三角形中心问题：
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
平行四边形：⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
⑵如果一个四边形的对角线互相平分，
那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补
⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
如图；
平行四边形中常用辅助线的添法
一、连对角线或平移对角线
二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的对角相等
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
梯形：
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形（但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断）
等腰梯形在同一底上的两个底角相等
等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过上下底中点的直线
等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）=上下底和的2分之一
梯形的面积公式是：（上底+下底）*高 /2。
用字母表示：（a+b）*h/2
梯形的周长公式是:一圈加.
矩形：1.矩形的四个角都是直角
2.矩形的对角线相等且互相平分
3.对边相等且平行
4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
5.矩形是轴对称图形，对称轴是任何一组对边中点的连线
菱形：
对角线互相垂直且平分；
四条边都相等；
对角相等,邻角互补；
每条对角线平分一组对角．
菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线
圆形：
没什么好说的。
椭圆：是最麻烦的图形，高中主要考的图形。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b)
2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b)
其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt, 其中a为椭圆长半轴,e为离心率
椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则
e=PF/PL
椭圆的准线方程
x=±a^2/C
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c
椭圆焦半径公式 x=a+ex1 x2=a-ex1
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离，数值=2b^2/a
点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
直线与椭圆位置关系
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相离△＜0无交点
相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=abs(1+k^2)|x1-x2|
椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a
补充：
关于三角形重心的几个重要定理
1.重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心的性质：
1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定律证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定律成立！
三角形的三条内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定律其实极易证。
性质：
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
还有1个重要的性质：
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做旁心。
性质：
每个三角形都有三个旁心。
它到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
轩钢爱捷： 分析:相交于x轴上一点就说明y值等于o时两直线相交,且此时的x的值是相等的 解:依题意得mx-3=0,解得m=3/xnx+7=0.解得n=-7/x m/n=3/x除以(-7/x)=3/x*(-x/7)=-3/7 m/n的值为-3/7
西青区15359167273： 连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A,设点O为坐标原点,则△OAM的面积为 - --- - ？
轩钢爱捷： 线段FM所在直线方程x+y=1与抛物线交于A(x0,y0),则 x+y=1 x2=4y ∴y0=3-2 2 或y0=3+2 2 (舍去). ∴S△OAM=1 2 *1*(3-2 2 )=3 2 ? 2 . 故答案为3 2 ? 2 .
西青区15359167273： 过抛物线x 2 =4y的焦点F作与y轴垂直的直线与抛物线相交于点P,则抛物线在点P处的切线l的方程为 - ----- - ？
轩钢爱捷： 抛物线x 2 =4y的焦点F(1,0),与y轴垂直的直线为 y=1,故点P的坐标为(-2,1),或(2,1),当点P的坐标为(-2,1)时,切线的斜率为 f′(-2)=-1,切线方程为 y-1=-1(x+2),即x+y+1=0. 当点P的坐标为(2,1)时,切线的斜率为 f′(2)=1,切线方程为 y-1=1(x-2),即x-y-1=0. 故答案为x-y-1=0或x+y+1=0.
西青区15359167273： 已知一次函数y=mx+4具有性质:y随x的增大而减小.又直线y=mx+4分别与直线x=1、x=4相交于点A、D,且点A在第 - ？
轩钢爱捷： 解:设A(1,m+4),D(4,4m+4) (m>-1,直线y=mx+4分别与直线x=1、x=4相交于点A、D且点A,点D在第一象限内,m+4和4m+4均为正值) S梯形ABCD=(m+4+4m+4)*3/2=8,解之即可.结果应该是m=-8/15
西青区15359167273： 若直线mx+ny=4与O:x^2+y^2=4没有交点~~~~ - ？
轩钢爱捷： 直线mx+ny-4=0到原点的距离大于2 即:|-4|/(m^2+n^2)^(1/2)>2 即:m^2+n^2<4,即m^2/4+n^2/4<1……1 然后,令x=m,y=n 则有:m^2/9+n^2/4=1…………………2 由2得:n^2/4=1-m^2/9………………3 将3带入1,得:5m^2<0,即m^2<0 可知这样的m不存在,所以交点数为0,选D
西青区15359167273： 已知直线y=mx+4m(m>0)交x轴于点A,交y轴于点B,△AOB的面积为8. (1) 求A点坐标和m的值, (2) 求直线 - ？
轩钢爱捷： 直线:y=mx+4m,令x=0,则:y=4m;令y=0,则:x=-4.故A,B坐标为:(-4,0),(0,4m).,AOB的面积为:...
西青区15359167273： 直线y=x+1与直线y=mx+4相交于点P(1,b),则b= ,m= . - ？
轩钢爱捷： y=x+1与直线y=mx+4相交 x+1=mx+4(1-m)x=3 x=3/(1-m)=1 m=-2 因为点P在方程y=x+1上 所以b=1+1=2
西青区15359167273： 已知点A(2,0),抛物线C:x 2 =4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:| - ？
轩钢爱捷： ∵抛物线C:x 2 =4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0) ∴抛物线的准线方程为l:y=-1,直线AF的斜率为k=0-12-0 =-12 ,过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM| ∵Rt△MPN中,tan∠MNP=-k=12 ,∴|PM||PN| =12 ,可得|PN|=2|PM|,得|MN|=|PN | 2 +|PM | 2 =5 |PM| 因此,|PM||MN| = 1 5 ,可得|FM|:|MN|=|PM|:|MN|=1:5 故选:C
西青区15359167273： 抛物线y=mx2 - 3mx - 4m(m<o)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点 - ？
轩钢爱捷： 解:(1)由抛物线y=mx的平方+3mx-3交y轴交于C,可得C(0,-3), ∵OB/OC=1/3,∠COB=90°, ∴B(1,0), ∵抛物线y=mx的平方+3mx-3(m>0)过点B, ∴m+3m-3=0,∴m= 3/4, ∴把m=3/4代入得到抛物线的解析式为y=3/4x的平方+9/4x-3; (2)∵把抛物线...
西青区15359167273： 已知直线y=mx+1与直线y=nx+4相交于x轴上一点,求m分之n的值？
轩钢爱捷： 两者相交于x轴上一点,则x,y此时相等,mx+1=nx+4 x=3/(m-n) 将其带入任何一直线中,即可得n/m=4
