逆矩阵的最通俗解析
首先,我们先来看看这个数的倒数:
· 倒数
其实矩阵的 逆矩阵 也跟倒数的性质一样,不过只是我们习惯用 A-1 表示:
问题来了,既然是和倒数的性质类似,那为什么不能写成 1/A ?
其实原因很简单,主要是因为矩阵不能被除。不过 1/8 倒可以被写成 8-1 。
那 矩阵的逆 和 倒数 还有其他相似之处吗?
模友:超模君,刚才讲的 “单位矩阵” 是什么意思,你还没说明呢
超模君:别急,慢慢来!关于单位矩阵,其实就是一个相当于数字 “1” 的矩阵:
· 3x3的单位矩阵
那怎样的矩阵才是单位矩阵呢?
换句话说: 交换a和d的位置,将负数置于b和c的前面,并将所有事物除以行列式(ad-bc)
举个栗子:
不过该如何去判断这是正确的答案呢?
那这个时候就要用到我们最开始讲的公式:
A × A-1 = I
所以,让我们检查一下,当我们将 矩阵 乘以 矩阵的逆 时,会是怎样的?
嘿嘿嘿嘿!我们最终得到了单位矩阵!
留个作业 :试试这样,能不能得到单位矩阵呢?
其实,在了解矩阵的过程中,总是会有个疑问: 为什么我们需要矩阵的逆呢?
各位模友,假如我们没有 “除法” 这个规则,那当有人问你 “如何把10分苹果平分给两个人” 。
想到怎么解答没?
那我们是不是可以采取2的倒数 (1/2=0.5) 来计算,那答案就很清晰啦:
10 × 0.5 = 5
也就是 每个人5个苹果 。
那我们是不是也可以将同样的方法应用到矩阵上呢?
但是我们却可以在公式两边都乘以 A-1 :
XAA-1= BA-1
因为我们都知道 AA-1 = I ,所以也就能得到
XI = BA-1
而此时 单位矩阵****I 我们是可以直接去掉的,也就能得到:
X = BA-1
所以呢,此时我们只要知道怎么计算 A-1 ,那就可以直接算出矩阵X(而对于计算 A-1 早已解决)。
丢个栗子 :
虽然这道题用线性方程组来解很简单,但这次我们尝试用矩阵思维来解答。
首先,我们设置好矩阵 (此时要注意好矩阵的行和列是否正确) :
那我们根据公式:
XA = B
要解决这个问题,那也就是得到 矩阵A 的倒数:
现在我们可以使用以下方法来解决:
X = BA-1
结果很明显,一共有 16个孩子 和 22个大人 !
虽然求矩阵的逆,只要打开MATLAB, 输入 inv(A) 。
但超模君这里就要插一句话:
如何通俗的解释矩阵的条件数?
因此,当我们需要解决线性方程时,我们希望条件数越小越好,这样即使原始误差很小,解向量的误差也不会很大,从而保证了解的准确性。总结起来,条件数是评估线性方程解的数值稳定性的一个关键指标。理解了条件数的概念,我们就能更深入地分析矩阵的性质,从而在解决实际问题时做出更准确的判断。
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