高数二阶非齐次微分方程怎么解

~ 二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解。
通解的系数C1，C2是任意常数。
拓展资料：

微分方程

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。

高数常用微分表

唯一性

存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

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镇赉县13056913208： 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,详解,谢谢! - ？
童胞东药： 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x

镇赉县13056913208： 二阶非齐次微分方程的通解公式 ？
童胞东药： 二阶非齐次微分方程的通解公式:y''+py'+qy=f(x).其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.

镇赉县13056913208： 高数求二阶非齐次常系数全微分方程 - ？
童胞东药： 先求齐次方程y''+4y'+4=0的通解 y=(C1+C2x)e^-2x 因为y'(0)=y(0)=0,所以C1=0,C2=0 再求特解y* y*=cos2x 方程y''+4y'+4=cos2x的特解 y=cos2x

镇赉县13056913208： 如何简单求解二阶常系数线性非齐次微分方程? - ？
童胞东药： 这个没有简单的,目前可解的微分方程很有限,尤其二阶还是非其次的.只有一些指数形式的,在复数域内可解,但没有固定的方法

镇赉县13056913208： 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,求助 - ？
童胞东药： 方程:d^2(y)/d(x^2)+a*dy/dx+b*y=0 解方程:z^2+a*z+b=0 得出z1,z2 若两者是重根,则得到基本解组,z1*exp(z1*t),exp(z1*t),则方程任意解可以表示为两者的线性组合 若非重根,则得到基本解组,exp(z1*t),exp(z2*t),则方程任意解可以表示为两者的线性组和

镇赉县13056913208： 二阶线性非齐次微分方程的特解如何求? - ？
童胞东药： 增广矩阵化成最简形,然后看秩和行数的关系,行数n-r就代表有多少个自由基.由这些个自由基组成方程解的一个基本解组,特解就是把自由基带入一个具体值算出来的剩下的未知量的解,组成一个特解列向量

镇赉县13056913208： 二阶非齐次微分方程求解 - ？
童胞东药： 原方程右边是一个数,记为ck^2 先解w''+k^2w=0,解为Aexp{ikx}+Bexp{-ikx},也可以写成三角函数形式 再看方程w''+k^2w=ck^2,一个特解很简单,就是c 所以方程的解:Aexp{ikx}+Bexp{-ikx}+c 求导之后,得到与c无关的w',就可以得出c的具体形式

镇赉县13056913208： 急.一个非齐次二阶常微分方程求解!!! - ？
童胞东药： x(x-1)y''+(3x-2)y'+y=2x令x(x-1)y=u则:u'=x(x-1)y'+(2x-1)yu''=x(x-1)y''+(4x-2)y'+2y代入原方程得:u''-xy'-y=2x即:(u'-xy)'=2x将u'=x(x-1)y'+(2x-1)y代入得:[x(x-1)y'+(x-1)y]'=2x积分一次可得:x(x-1)y'+(x-1)y=x^2-1+A,A为积分常数上方程可化为:xy'+y=(x^2-1+A)/(x-1)即(xy)'=(x^2+A)/(x-1)=(x+1)+A/(x-1)积分一次可得:xy=(x^2)/2+x+Aln|x-1|+B即原方程的解为:y=x/2+1+(A/x)ln|x-1|+B/x

镇赉县13056913208： 高数微分方程,已知y=1 y=x y=x^2 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为______原理搞懂就可以了, - ？
童胞东药：[答案] 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 而y=1 y=x y=x^2 线性无关 所以任意两个之差+第三个就是通解 例如可以是 C1(x^2-1)+C2(x^2-x)+1

镇赉县13056913208： 二阶线性非齐次微分方程的通解和特解有什么区别和联系? - ？
童胞东药：[答案] 看了一下楼下的,比较专业,深度较高,已经说得很很好了, 我就用通俗一点的话说 所谓通解,就是包含所有的以y为因变量的方程,其实就是二个任意常数引导的. 特解呢,就是一个已经确定的的任意常数的y的方程. 通解中包括两部分,对应齐次...