椭圆的焦点怎么求？

椭圆的焦点怎么求~

①焦点在x轴上设椭圆长轴为2a 短轴为2b 焦点为(±c,0) c=±根号(a^-b^) ①焦点在y轴上设椭圆长轴为2a 短轴为2b 焦点为(0,±c) c=±根号(a^-b^)

AX^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F [A不等于0,不妨设A>0]

= A{X^2 + BXY/A + [BY/(2A)]^2} - B^2Y^2/(4A) + CY^2 + DX + EY + F

= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A} - DBY/(2A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + EY + F

= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A + [D/(2A)]^2} - D^2/(4A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F

= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F - D^2/(4A) 【C - B^2/(4A)不等于0，因A>0,所以 C - B^2/(4A)>0】

= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)]} + F - D^2/(4A)

= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)] + {[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 } - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)

= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y + [E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)

[因A>0,所以，{[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)} > 0]

椭圆中心点的坐标为，
Y = -[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]
X = -[BY + D]/(2A) = -{D - B[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}/(2A)

a^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/A

b^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/[C - B^2/(4A)]

a > 0, b > 0.

当a > b > 0时，长短半轴分别为a,b.

当b > a > 0时，长短半轴分别为b,a.

当a > b > 0时，长轴与X轴的夹角 = arctan{-B/(2A)}

当b > a > 0时，长轴与X轴的夹角 = PI/2 + arctan{-B/(2A)}



方法就是配方，化成标准型。
配方的时候，可以先把X^2 和XY项配成1项的平方，
然后在把X项也配进平方项。

最后，把Y^2和Y项配成平方。

就可以写成
AU^2 + PV^2 = Q了
使得U = 0，V = 0的点就是椭圆中心点。
Q/A,Q/P就是长短半轴的平方。

使得包含X^2, XY和X的平方项等于0的直线方程就是长轴或者短轴所在的直线方程。

设长半轴是a,半焦距为c,
则 (a-c) + a + c = 2a = 2[b^2 + c^2]^(1/2),
【椭圆远端点到焦点的距离之和 = 近端点到焦点的距离之和】

a^2 = b^2 + c^2,

c = (a^2 - b^2)^(1/2)

c的平方等于a的平方减b的平方，c是焦点到原点的距离。

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

扩展资料：

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

参考资料来源：百度百科——椭圆的标准方程

将椭圆变形，得
25(x-3)^2+9(y+1)^2=225
再同除以225，得
(x-3)^2/9+(y+1)^2/25=1
显然，这个椭圆可以由椭圆x^2/9+y^2/25=1经过平移得到。
而椭圆的焦点由(0,4)与(0,-4)移到(3,3)与(3,-5)，这两点就是所求的焦点。
而这个平移过程可以参考平移公式。

对于椭圆标准方程
x²/a²+y²/b²=1以焦点在x轴为例
c²=a²-b²
c=√(a²-b²)

高24：也就是说2b=24,b=12
长75：也就是说2a=75.a=37.5
则c²=a²-b²≈1260.25
则c≈35.5
则焦点离原点（中心点）的距离约是35.5
还有一种情况是焦点在Y轴上，把上面的反过来就行了。

a方减b方 开根号

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南宁市13089158145： 怎样根据椭圆的方程求椭圆的焦点. - ？
计菲甲苯：[答案] 根据椭圆的方程先确定焦点在哪条坐标轴上,并写出a、b的值,再根据c²=a²-b²求出c, 最后写出焦点坐标即可

南宁市13089158145： 椭圆焦点坐标怎么求公式 - ？
计菲甲苯：[答案] 焦点在x轴上:(c,0)(-c,0) 焦点在y轴上:(0,c)(0,-c) c的平方即是标准方程中的a的平方减b的平方

南宁市13089158145： 知道了椭圆的标准方程怎么求它的焦点 - ？
计菲甲苯：[答案] 知道了《标准方程》就知道了参数 a、b ,则 c=√(a^2-b^2) ,焦点为 F1(-c ,0) 和F2(c ,0) 【若长轴在x轴】 或 F1(0 ,-c) 和 F2(0 ,c)【若长轴在y轴】.

南宁市13089158145： 椭圆焦点的求法 - ？
计菲甲苯： 高24:也就是说2b=24,b=12 长75:也就是说2a=75.a=37.5 则c²=a²-b²≈1260.25 则c≈35.5 则焦点离原点(中心点)的距离约是35.5还有一种情况是焦点在Y轴上,把上面的反过来就行了.

南宁市13089158145： 椭圆的焦点c怎么算? - ？
计菲甲苯：[答案] 长轴长2a 短轴长2b 焦距为2c a^2-b^2=c^2 如果长轴长在x轴上的话,焦距为(C,0),(-C,0) 如果长轴长在y轴上的话,焦距为(0,C),(0,-C)

南宁市13089158145： 已知椭圆方程怎样求椭圆的焦点坐标 - ？
计菲甲苯：[答案] 已知椭圆方程 x²/a²+y²/b²=1 焦点坐标是F1(-c,0) F2(c,0) 则 c²=a²-b²

南宁市13089158145： 画椭圆的焦点是怎么算的,比如我要画个长8米宽3米的椭圆,他的焦点是 - ？
计菲甲苯： 根据公式,椭圆的长轴为2a=8,短轴为2b=3,那么交点坐标为根号下a的平方-b的平方,因为椭圆有两焦点,关于y轴对称,那么坐标为(±根号7/2,0)

南宁市13089158145： 椭圆焦点坐标怎么求 已知Xˇ2/9+ yˇ/25=1 求详解~ - ？
计菲甲苯： 1. Xˇ2/9+ yˇ/25=1 所以焦点在y轴上,a=5 b=3 所以c^2=a^2-b^2=25-9=16,所以c=4 所以焦点为(0,4)和(0,-4)2. xˇ+kyˇ2=2 xˇ/2+yˇ2/(2/k)=1 焦点在y轴上,所以2/k>2 所以0<k<1

南宁市13089158145： 椭圆的焦点坐标公式 - ？
计菲甲苯： 椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1;(a>b>0) 所以c^2=a^2-b^2;故焦点是,(c,0),(-c,0); 如果不是一般的,也要化成标准形: (x-d)^2/a^2+(y-f)^2/b^2=1;(a>b>0); 同样c^2=a^2-b^2; 所以在原点时(c,0),(-c,0); 但是该 方程是由原点标准时,沿(d,f)平移的, 所以焦点是 (c+d,f),(-c+d,f); y轴上类似

南宁市13089158145： 中心不在原点的椭圆 焦点怎么求?中心在在原点的椭圆焦点公式是什么? - ？
计菲甲苯：[答案] 写出解析式 平移至中心在原点进行求解 然后再平移回去 左加右减下加上减