椭圆的焦点怎么求?
①焦点在x轴上设椭圆长轴为2a 短轴为2b 焦点为(±c,0) c=±根号(a^-b^) ①焦点在y轴上设椭圆长轴为2a 短轴为2b 焦点为(0,±c) c=±根号(a^-b^)
AX^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F [A不等于0,不妨设A>0]
= A{X^2 + BXY/A + [BY/(2A)]^2} - B^2Y^2/(4A) + CY^2 + DX + EY + F
= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A} - DBY/(2A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + EY + F
= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A + [D/(2A)]^2} - D^2/(4A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F - D^2/(4A) 【C - B^2/(4A)不等于0,因A>0,所以 C - B^2/(4A)>0】
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)]} + F - D^2/(4A)
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)] + {[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 } - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y + [E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)
[因A>0,所以,{[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)} > 0]
椭圆中心点的坐标为,
Y = -[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]
X = -[BY + D]/(2A) = -{D - B[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}/(2A)
a^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/A
b^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/[C - B^2/(4A)]
a > 0, b > 0.
当a > b > 0时,长短半轴分别为a,b.
当b > a > 0时,长短半轴分别为b,a.
当a > b > 0时,长轴与X轴的夹角 = arctan{-B/(2A)}
当b > a > 0时,长轴与X轴的夹角 = PI/2 + arctan{-B/(2A)}
方法就是配方,化成标准型。
配方的时候,可以先把X^2 和XY项配成1项的平方,
然后在把X项也配进平方项。
最后,把Y^2和Y项配成平方。
就可以写成
AU^2 + PV^2 = Q了
使得U = 0,V = 0的点就是椭圆中心点。
Q/A,Q/P就是长短半轴的平方。
使得包含X^2, XY和X的平方项等于0的直线方程就是长轴或者短轴所在的直线方程。
设长半轴是a,半焦距为c,
则 (a-c) + a + c = 2a = 2[b^2 + c^2]^(1/2),
【椭圆远端点到焦点的距离之和 = 近端点到焦点的距离之和】
a^2 = b^2 + c^2,
c = (a^2 - b^2)^(1/2)
c的平方等于a的平方减b的平方,c是焦点到原点的距离。
当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0);
当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2/a^2+x^2/b^2=1,(a>b>0);
其中a^2-c^2=b^2
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点,F为焦点)
平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的动点P的轨迹,F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。
扩展资料:
顶点:
焦点在X轴时:长轴顶点:(-a,0),(a,0)
短轴顶点:(0,b),(0,-b)
焦点在Y轴时:长轴顶点:(0,-a),(0,a)
短轴顶点:(b,0),(-b,0)
注意长短轴分别代表哪一条轴,在此容易引起混乱,还需数形结合逐步理解透彻。
焦点:
当焦点在X轴上时焦点坐标F1(-c,0)F2(c,0)
当焦点在Y轴上时焦点坐标F1(0,-c)F2(0,c)
参考资料来源:百度百科——椭圆的标准方程
将椭圆变形,得
25(x-3)^2+9(y+1)^2=225
再同除以225,得
(x-3)^2/9+(y+1)^2/25=1
显然,这个椭圆可以由椭圆x^2/9+y^2/25=1经过平移得到。
而椭圆的焦点由(0,4)与(0,-4)移到(3,3)与(3,-5),这两点就是所求的焦点。
而这个平移过程可以参考平移公式。
对于椭圆标准方程
x²/a²+y²/b²=1以焦点在x轴为例
c²=a²-b²
c=√(a²-b²)
高24:也就是说2b=24,b=12
长75:也就是说2a=75.a=37.5
则c²=a²-b²≈1260.25
则c≈35.5
则焦点离原点(中心点)的距离约是35.5
还有一种情况是焦点在Y轴上,把上面的反过来就行了。
a方减b方 开根号
求以椭圆x²\/25+y²\/16的焦距为直径,焦点为圆心的圆的方程?
c²=25-16=9,则c=±3 ∴焦距=2c=6,焦点是(3,0)和(-3,0)∵圆直径=6,则圆半径=3 ∴圆方程为(x-3)²+y²=9 或者(x+3)²+y²=9
椭圆的焦点怎么求?
椭圆简介 在数学中,椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线,使得对于曲线上的每个点,到两个焦点的距离之和是恒定的。因此,它是圆的概括,其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状(如何“伸长”)由其偏心度表示,对于椭圆可以是从0到任意接近但小于1的任何数字。椭圆是封闭式圆锥截面...
双曲线的焦点怎么求?
1、焦点在x轴(-c,0)、(c,0);焦点在y轴:(0,-c)、(0,c)双曲线有两个焦点,焦点的横(纵)坐标满足c²=a²+b²。2、渐近线方程 焦点在y轴上的双曲线的渐近线为:焦点在x轴的双曲线的渐近线为:3、双曲线的标准方程为:(1)焦点在X轴上时为:(2)焦点在Y...
双曲线焦点怎么求?
方程x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)c²=a²+b²焦点坐标(-c,0),(c,0)渐近线方程:y=±bx/a 方程 y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)c²=a²+b²焦点坐标(0,c),(0,-c)渐近线方程...
椭圆的焦点是什么意思?怎么求?
椭圆的焦半径:MF1=a+ex0,MF2=a-ex0,X0为M的横坐标。焦半径公式的推导:利用双曲线的第二定义,设双曲线其左右焦点,则由第二定义:同理即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式,同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式。其中分别是双曲线的下上焦点。注意:双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的...
椭圆的焦点怎么求?
,准线方程是x=a^2\/c和x=-a^2\/c 又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在x轴或y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。既标准方程的统一形式。椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ ,y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0,y0点...
椭圆的焦点怎么求?
c的平方等于a的平方减b的平方,c是焦点到原点的距离。当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x\/y+y\/b=1,(a>b>0);当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y\/a+x\/b=1,(a>b>0)。
椭圆求焦点计算公式
计算公式为:a^2-b^2=c^2 如果长轴长在x轴上的话,焦距为(C,0),(-C,0),如果长轴长在y轴上的话,焦距为(0,C),(0,-C)。其中:长轴长为:2a;短轴长为:2b;焦距为:2c。
怎么求椭圆的焦点呀
椭圆的焦点求法如下:1、焦点在横轴上时:焦点的纵坐标为0。椭圆长轴的平方减去椭圆短轴的平方,然后开方,将所得结果取正负值,即可得到两个焦点的横坐标。2、焦点在纵轴上时:焦点的横坐标为0。椭圆长轴的平方减去椭圆短轴的平方,然后开方,将所得结果取正负值,即可得到两个焦点的纵坐标。3、横...
求圆锥曲线的焦点坐标是?
解:双曲线中c^2=a^2+b^2 椭圆中a^2=b^2+c^2 抛物线中c=+-1\/2*p 例如:双曲线方程为x^2\/3-y^2=1,椭圆经过点(-1,1)椭圆方程为x^2\/a^2+y^2\/b^2=1(a>b>0)抛物线方程 y^2=2px(p>0)c双^2=3+1=4即c双=2 据c椭=c双=c抛可得c椭=2 a^=b^2+2^2=b^2+4①...
计菲甲苯:[答案] 根据椭圆的方程先确定焦点在哪条坐标轴上,并写出a、b的值,再根据c²=a²-b²求出c, 最后写出焦点坐标即可
南宁市13089158145: 椭圆焦点坐标怎么求公式 - ?
计菲甲苯:[答案] 焦点在x轴上:(c,0)(-c,0) 焦点在y轴上:(0,c)(0,-c) c的平方即是标准方程中的a的平方减b的平方
南宁市13089158145: 知道了椭圆的标准方程怎么求它的焦点 - ?
计菲甲苯:[答案] 知道了《标准方程》就知道了参数 a、b ,则 c=√(a^2-b^2) ,焦点为 F1(-c ,0) 和F2(c ,0) 【若长轴在x轴】 或 F1(0 ,-c) 和 F2(0 ,c)【若长轴在y轴】.
南宁市13089158145: 椭圆焦点的求法 - ?
计菲甲苯: 高24:也就是说2b=24,b=12 长75:也就是说2a=75.a=37.5 则c²=a²-b²≈1260.25 则c≈35.5 则焦点离原点(中心点)的距离约是35.5还有一种情况是焦点在Y轴上,把上面的反过来就行了.
南宁市13089158145: 椭圆的焦点c怎么算? - ?
计菲甲苯:[答案] 长轴长2a 短轴长2b 焦距为2c a^2-b^2=c^2 如果长轴长在x轴上的话,焦距为(C,0),(-C,0) 如果长轴长在y轴上的话,焦距为(0,C),(0,-C)
南宁市13089158145: 已知椭圆方程怎样求椭圆的焦点坐标 - ?
计菲甲苯:[答案] 已知椭圆方程 x²/a²+y²/b²=1 焦点坐标是F1(-c,0) F2(c,0) 则 c²=a²-b²
南宁市13089158145: 画椭圆的焦点是怎么算的,比如我要画个长8米宽3米的椭圆,他的焦点是 - ?
计菲甲苯: 根据公式,椭圆的长轴为2a=8,短轴为2b=3,那么交点坐标为根号下a的平方-b的平方,因为椭圆有两焦点,关于y轴对称,那么坐标为(±根号7/2,0)
南宁市13089158145: 椭圆焦点坐标怎么求 已知Xˇ2/9+ yˇ/25=1 求详解~ - ?
计菲甲苯: 1. Xˇ2/9+ yˇ/25=1 所以焦点在y轴上,a=5 b=3 所以c^2=a^2-b^2=25-9=16,所以c=4 所以焦点为(0,4)和(0,-4)2. xˇ+kyˇ2=2 xˇ/2+yˇ2/(2/k)=1 焦点在y轴上,所以2/k>2 所以0<k<1
南宁市13089158145: 椭圆的焦点坐标公式 - ?
计菲甲苯: 椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1;(a>b>0) 所以c^2=a^2-b^2;故焦点是,(c,0),(-c,0); 如果不是一般的,也要化成标准形: (x-d)^2/a^2+(y-f)^2/b^2=1;(a>b>0); 同样c^2=a^2-b^2; 所以在原点时(c,0),(-c,0); 但是该 方程是由原点标准时,沿(d,f)平移的, 所以焦点是 (c+d,f),(-c+d,f); y轴上类似
南宁市13089158145: 中心不在原点的椭圆 焦点怎么求?中心在在原点的椭圆焦点公式是什么? - ?
计菲甲苯:[答案] 写出解析式 平移至中心在原点进行求解 然后再平移回去 左加右减下加上减