A\Bn级矩阵,E-AB可逆,证明E-BA可逆,并求其逆?

已知A ,B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA是可逆矩阵。~

只要找出一个非零解满足（E-AB）Y
=
0，就可以说明与题设矛盾，
假设E-BA不可逆，则（E-BA）X
=
0
有非零解，则可得
X=BAX。
又
（E-AB）AX
=
AX
-
ABAX
=
AX-AX
=
0，即AX为（E-AB）Y
=
0的一个非零解，由此可证
也有人是这么解得，（好强大的说）
因为E-AB可逆，则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E，
左乘B右乘A，有BCA-BCABA=BA
有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E，根所定义知E-BA可逆

反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0
也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题设矛盾，所以E-BA可逆

简单计算一下即可，答案如图所示

E-AB可逆,则设其逆为C 有(E-AB)C=E ->B(E-AB)CA=BA -> BCA-BABCA-BA+E=E (两边多配了一个E) -> (E-BA)BCA +(E-BA)=E ->(E-BA)(BCA+E)=E 所以E-BA可逆,且其逆矩阵为CA+E

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沧源佤族自治县13231867115： A\Bn级矩阵,E - AB可逆,证明E - BA可逆,并求其逆? - ？
茆若十味：[答案] E-AB可逆,则设其逆为C 有(E-AB)C=E ->B(E-AB)CA=BA -> BCA-BABCA-BA+E=E (两边多配了一个E) -> (E-BA)BCA +(E-BA)=E ->(E-BA)(BCA+E)=E 所以E-BA可逆,且其逆矩阵为CA+E

沧源佤族自治县13231867115： 设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a'b>0,证明H=E - (bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了 - ？
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沧源佤族自治县13231867115： A与B均为数域P上的矩阵,为什么A与B均为n级可逆矩阵不能断言A与B等价? - ？
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沧源佤族自治县13231867115： 设A是n级方阵,证明:存在n级可逆矩阵B使得(AB)^2=AB且(BA)^2=BA - ？
茆若十味： 证明:欲证:存在n级可逆矩阵B使得(AB)^2=AB且(BA)^2=BA 只需证:存在n级可逆矩阵B使得ABA=A(BA)=A 设r(A)=r,则r(BA)=r(A)=r 故只需证明对任意秩为r的n阶方阵A,存在秩为r的n阶方阵C(=BA),使得AC=A 而以上这个命题是成立的,具体证明参看以下链接:http://wenwen.sogou.com/z/q701308553.htm?oldq=1#answer-1257966640 故原命题得证

沧源佤族自治县13231867115： 设A为n阶非零实矩阵,A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵.证明:A可逆？
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沧源佤族自治县13231867115： 行列式乘法定理的证明 - ？
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