著名的 海伦公式 是什么????

海伦公式是什么？~

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积。
比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

发展简史：
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。
这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
以上内容参考：百度百科-海伦公式

证明当p＝1／2(a＋b＋c）时，三角形面积为S△＝√p(p－a)(p－b)(p－c)


S=1/2*absinC
=1/2*ab√[1-(cosC)²]
1-(cosC)²=1-[(a²+b²-c²)/(2ab)]²
=[(2ab)²-(a²+b²-c²)^2]/(2ab)²
=(2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)/(2ab)²
=[(a+b)²-c²]{c²-(a-b)²]/(2ab)²
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/[4(ab)²]
=4*(a+b+c)/2*(a+b-c)/2*(c+a-b)/2*(b+c-a)/2]/(ab)²
p=(a+b+c)/2--->(a+b-c)/2=(a+b+c)/2-c=p-c;(c+a-b)/2)=p-b;(b+c-a)/2=p-a
S=1/2*ab*√[4p(p-a)(p-b)(p-c)/(ab)²]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

三角形三边为abc设t=1/2(a+b+c)
则面积s=根号下t(t-a)(t-b)(t-c)
这就是著名的 海伦公式

三边长分别为根号2,根号3,根号5的三角形面积
代入公式可得

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]
而公式里的s为半周长：
s=(a+b+c)/2

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明：
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设s=(a+b+c)/2
则s=(a+b+c), s-a=(-a+b+c)/2, s-b=(a-b+c)/2, s-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

所以，三角型ABC面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

证明完毕
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式里的s：

s=frac{a+b+c}

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

证明

与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}

从而有

sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }

因此三角形的面积S为

S = fracab sin(C)

= fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

最后的等号部分可用因式分解予以导出。

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：

s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出

海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p
=
(a
b
c),则
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
其中，s△abc
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
s
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
b2
－2abcosc
对其进行证明。
证明：要证明s
=
则要证s
=
=
=
ab×sinc
此时s
=
ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a
∠b
∠c
=180○那么
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
=
①②③代入，得：
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x
z)＋(x
y)－(z
y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
s△abc
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴s△abc
=
r·p
=
故得证。
三、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设p=
,则s四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长da，cb交于点e。
设ea
=
e
eb
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△eab～△ecd
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于s四边形abcd
=
s△eab
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴s四边形abcd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海伦公式的推广得证。
四、
海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形abcd内接于圆o中，sabcd
=
,ad
=
1,ab
=
1,
cd
=
2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设bc
=
x
由海伦公式的推广，得：
=
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，ad
=
bc
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。

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信丰县15730165877： 什么是海伦公式 - ？
禤娟盐酸： 海伦公式的渊源和意义

信丰县15730165877： 著名的 海伦公式 是什么???? - ？
禤娟盐酸： 三角形三边为abc设t=1/2(a+b+c) 则面积s=根号下t(t-a)(t-b)(t-c) 这就是著名的 海伦公式三边长分别为根号2,根号3,根号5的三角形面积 代入公式可得

信丰县15730165877： 海伦公式是什么? - ？
禤娟盐酸： 1、先来看海伦公式:三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)], 其中P=(A+B+C)/2 A、B、C表示三角形的边长,√表示根号,即紧跟后面的括号内的全部数开根号. 2、再来看海伦公式的变形(以下所有式中的^表示平方) S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)] ...

信丰县15730165877： 数学里的海伦公式是什么 - ？
禤娟盐酸： 海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表. 假设有一个三角形,...

信丰县15730165877： 海伦公理是什么? - ？
禤娟盐酸： 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形...

信丰县15730165877： 海伦公式的公式 - ？
禤娟盐酸： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2我喜欢叫他海龙公式- -

信丰县15730165877： 海伦公式是什么？
禤娟盐酸： p=(a+b+c)/2

信丰县15730165877： 海伦公式是什么?？
禤娟盐酸： 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] p为半周长: p=(a+b+c)/2

信丰县15730165877： 著名的 海伦公式 是什么?顺便问一个题目 试用 海伦公式 求三边长分别为根号2,根号3,根号5的三角形面积 - ？
禤娟盐酸：[答案] 三角形三边为abc设t=1/2(a+b+c) 则面积s=根号下t(t-a)(t-b)(t-c) 这就是著名的 海伦公式 三边长分别为根号2,根号3,根号5的三角形面积 代入公式可得

信丰县15730165877： 海伦 -- 秦九韶公式是什么? - ？
禤娟盐酸： 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:当p=1/2(a+b+c)时,三角形面积为S△=√p(p-a)(p-b)(p-c) p为半周长