高等数学问题：设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1,求证：方程2x-∫(x,0) f(t)dt=1在(0,1)内有且只有一个实根
这是中值定理中常见的证明题目。
第一问，可以将结论看做函数的零点问题，构造辅助函数，利用连续函数零点定理证明。
第二问，待证结论中有f(x)及f'(x)，能够将导数与原函数联系起来的是中值定理，如何构造辅助高数是个难题。第一问为我们提供了思路。
(具体证明过程如图所示)
单位圆边界就是x＾2＋y＾2＝1，
即x＝cost，y＝sint，0≤t≤2π。
f（x，y）在单位圆边界值上取值为零，即f（cost，sint）＝0，
也可以写成f(cosx,sinx)=0，所以∫f(cosx,sinx)dx=0050。
设h（x，y）＝f（x，y）－g（x，y）．
则h（x，y）在D上有连续偏导数，且在∂D上恒等于0．
由h（x，y）连续，D是有界闭区域，h（x，y）可在D上取得最大最小值．
若最大最小值都是在∂D上取得，即有h（x，y）的最大最小值都是0．
h（x，y）恒等于0，f（x，y）＝g（x，y）对任意（x，y）∈D成立．
于是▽f（x，y）＝▽g（x，y）也对任意（x，y）∈D成立，自然也对（x，y）∈D＾0成立．
若最大最小值不都在∂D上取得，设h（x，y）在（x0，y0）∈D＾0处取得最大值或最小值．
则有▽f（x0，y0）－▽g（x0，y0）＝▽h（x0，y0）＝0．
即存在（x0，y0）∈D＾0，使▽f（x0，y0）＝▽g（x0，y0）。
扩展资料
举例
设f（x，y）在D：x2＋y2≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）＝2008．则
limε→0＋∬ε2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy等于：
因为
∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy
＝∬ɛ2≤x2＋y2≤1（∂∂x（xx2＋y2f（x，y））＋∂∂y（yx2＋y2f（x，y）））dxdy－∬ɛ2≤x2＋y2≤1（∂∂x（xx2＋y2）＋∂∂y（yx2＋y2））f（x，y）dxdy＝I1＋I2．计算可得，I2
＝∬ɛ2≤x2＋y2≤10dxdy＝0．注意到f（x，y）在x2＋y2＝1上的函数值为零，故利用格林公式以及积分中值定理可得可得，
I1＝∮x2＋y2＝1xx2＋y2f（x，y）dy−yx2＋y2f（x，y）dx－∮x2＋y2＝ɛ2xx2＋y2f（x，y）dy−yx2＋y2f（x，y）dx
＝0－1ɛ2∮x2＋y2＝ɛ2xf（x，y）dy−yf（x，y）dx
＝－1ɛ2∬x2＋y2≤ɛ2［（f＋xf′x）＋（f＋yf′y）］dxdy
＝－π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）），其中ξ2＋η2＝1。
因此，∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy＝－π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）），
ξ2＋η2＝1．当ɛ→0时，（ξ，η）→（0，0），又因为f（x，y）在D：x2＋y2≤1上有连续偏导数，所以，
limɛ→0∬ɛ2≤x2＋y2≤1xf′x＋yf′yx2＋y2dxdy
＝－limɛ→0π（2f（ξ，η）＋ξf′x（ξ，η）＋ηf′y（ξ，η）
＝－2πf（0，0）
＝－4016π．
故答案为：－4016π。
又∵F（x）的导函数=2-f(x)且f(x)<1，故F（x）的导函数在（0,1）内大于零。
导函数单调，F（x）只能有一个零点。
又∵F（0）=-1，F（1）=1-∫(1,0) f(t)dt>1--∫(1,0) 1dt =0，区间端点函数值异号，根据连续函数性质，F(x)在（0,1）内必有一个零点。
得证。
根的唯一性问题，固然想到应用罗尔定理
2x-∫(x,0) f(t)dt=1
2x+1=∫(x,0) f(t)dt
两边求导
你这积分的上下界是多少？？？？
设F（x）=2x-∫(x,0) f(t)dt-1=0,
F（0）=-1 ,
F(1)=1-f(1)>0
且F‘（x）>0
得证
高等数学极限问题求助
设f(x)=1+1\/(1+x) (x>0)，F(x)=f(f(x))=(4+3x)\/(3+2x)∴F′(x)=1\/(3+2x)²>0，Xn+1=F(Xn-1)∵X2n+3-X2n+1=F(X2n+1)-F(X2n-1)=F′(c)(X2n+1-X2n-1) (X2n+1<c<X2n-1)(应用微分中值定理)∴此时表明(X2n+3-X2n+1)与(X2n+1-X2n-1)...
求初三数学难题解答!(高分悬赏)
A、B在抛物线上，代入A、B坐标计算得到抛物线方程为 y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 -4 则有b = -2 , c = -3 , D点坐标为(1,-4)②直线AB的斜率为 k1 = 1 要找到抛物线上一点F使得FA⊥AB，那么FA的斜率k2须满足 k1·k2 = -1 , 即k2 = -1 设F(m,n) , 则AF斜率...
跪求高等数学解析几何题目
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1), 将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=- . 直线l:y= x过AB的中点( ),则 ,解得k=0,或k= -1. 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点...
高等数学 中值定理的应用 例五 第二小问 怎么解?
内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。内容 如果函数f(x）满足 在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点ξ（a...
高等数学连续问题
高等数学连续定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。如果当自变量Δx趋向于0时。相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。一致连续：1 已知定义在区间I上的函数f(x)如果对于任意一个实数b>0，存在一个实数c>0使得对任意I上的x1,x2且x1,x2满足|x1-x2|<...
高等数学中的洛必达法则是什么?
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不...
高一数学题求解法和过程:设f(x)=2x方-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f{...
f（x）=2x方-3x+1，g（x-1）=f（x）=2x²-3x+1 令x-1=t x=t+1 g(t)=2(t+1)²-3(t+1)+1=2t²+t 所以 g(x)=2x²+x g(2)=2×2²+2=10 f(g(2))=f(10)=2×10²-3×10+1=171 ...
高中数学问题急!!在线等 设f(x)=Inx—ax 求函数f(x)的极值点 当a>0...
首先可以确定x的取值范围是（0，+无穷），导函数=1\/x-a，讨论导函数的符号，（1）a小于等于0时导函数恒大于零，此时函数f（x）是增函数，在定义域内无极值.（2）当a>0时，当1\/x-a=0时即x=1\/a时函数f（x）取得极值.若当a>0时恒有f（x）<-1，说明函数f（x）有极大值.所以当x属于...
数学问题:设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明:f(x)可表示成偶函数...
1.函数M(x)的定义域为D1，对任意的x属于D1，都有M(-x)=M(x)，则称M(x)是偶函数；2.函数N(x)的定义域为D2，对任意的x属于D2，都有N(-x)=-N(x)，则称N(x)是偶函数。下面回答上述问题：f(x)=[f(x)+ f(-x)]\/2+ [f(x)- f(-x)]\/2 令 g(x)=[f(x)+ f(-x)...
关于高等数学的问题
简单的说，证明的时候，对于数列的极限，就是找符合条件的N，N找到了，也就证明成功了。而函数的极限，趋于a的函数，就是找符合条件的δ 趋于∞的极限，找符合条件的X
无雍古汉：[答案] 设F(x)=2x-∫(x,0) f(t)dt-1,则问题转化为求F(x)在(0,1)内有无零点的问题. 又∵F(x)的导函数=2-f(x)且f(x)导函数单调,F(x)只能有一个零点. 又∵F(0)=-1,F(1)=1-∫(1,0) f(t)dt>1--∫(1,0) 1dt =0,区间端点函数值异号,根据连续函数性质,F(x)在(0,1)内必有一...
麻阳苗族自治县14787879066： 高数一证明设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:存在ξ属于(0,1),使得f(ξ)+f'(ξ)=e^( - ξ)[f(1)e - f(0)]请问那e是怎么放进去的 - ？
无雍古汉：[答案] 令F(x)=e^xf(x) F'(x)=e^xf(x)+e^xf'(x) 则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导 由Lagrange中值定理 存在一点ξ属于(0,1),使F'(ξ)=F(1)-F(0) 即[f(ξ)+f'(ξ)]e^ξ=ef(1)-f(0) 即f(ξ)+f'(ξ)=e^(-ξ)[f(1)e-f(0)]
麻阳苗族自治县14787879066： 高数难题f(x)在[0,1]上连续单减,a属于(0,1),求证:f(x)从0到a的积分总大于a倍f(x)0到1的积分. - ？
无雍古汉：[答案] 证:原式即证[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx]≥0[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx]=[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→a)f(x)dx+∫(a→1)f(x)dx]=(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]=(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]...
麻阳苗族自治县14787879066： 请教高等数学的一个式子设f(x)在[0,1]上连续,求 lim n - >+无穷 [size= - 1]∫x^n f(x) dx (上限是1,下限是0.x^n是x的n次方)答案直接写:因为[size= - 1]∫x^n[size= - ... - ？
无雍古汉：[答案] 呃 是定积分哦·· 因为∫x^n=x^(n+1)/(n+1) 这个是不定积分的求法 应该有学过这个吧 然后∫x^n(上限是1,下限是0)=1^n/(n+1)-0^n/(n+1)=1/(1+n) (如果看不懂 告诉我哪里不明白 我可以补充说明给你)
麻阳苗族自治县14787879066： 高数微分中值问题设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明存在&属于(0,1)使f''(&)=2f'(&)/(1 - &). - ？
无雍古汉：[答案] 第一步, 对f(x)在[0,1]上用罗尔定理, 知存在§属于(0,1),使得f ' (§)=0. 第二步, 对F(x)=(1-x^2)*f ' (x)在[§,1]上用罗尔定理, 即可证出.
麻阳苗族自治县14787879066： 高数问题(有关中值定理)f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,f(1)=1,证明:对任意满足a+b=1的正整数a,b,存在相异两点x,y,(x,y都在0和1之间),使af'(x)+bf'(y)=1 - ？
无雍古汉：[答案] 任取c∈(0,1) 对区间[0,c]和区间[c,1]运用拉格朗日定理有 f(c)-(0)=f(c)=f`(x)c f(1)-f(c)=1-f(c)=f`(y)(1-c) 两式相加就有1=cf`(x)+f`(y)(1-c) 令c=a即证
麻阳苗族自治县14787879066： 高数二阶导证明问题已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上二阶可导,f(0)=f(1)=0,且曲线y=f(x)与直线y=x当x∈(0,1)是有交点,证明:在(0,1)内至少存在... - ？
无雍古汉：[答案] 因为曲线y=f(x)与直线y=x当x∈(0,1)是有交点,即存在c∈(0,1),使得f(c)=c; 于是由微分中值定理有 f(c)-f(0)=cf'(ξ1);ξ1∈(0,c);得到f'(ξ1)=f(c)/c=1; 同样 f(1)-f(c)=(1-c)f'(ξ2);ξ2∈(c,1);得到f'(ξ2)=-f(c)/(1-c)=-c/(1-c)=1-1/(1-c)
麻阳苗族自治县14787879066： 求解一道高数证明题设f(x)在(0,1)上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,且y=f(x)与y=x在(0,1)时有交点,证明:在(0,1)内至少有一个ξ,使f''(ξ) - ？
无雍古汉：[答案] 反证法:设y=f(x)与y=x在(0,1)的交点为 (x0,x0),0 在(x1,1)中,f'(x)>=0.即f(x)递增,于是 f(1)>=f(x1)>0 这与 f(1)=0 矛盾!于是至少有一个!
麻阳苗族自治县14787879066： 请教一道高数证明题?设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明:对自然数n>=2,必有m属于(0,1),使得f(m)=f(m+1/n).第一位给出的证明好象有问题嘛? - ？
无雍古汉：[答案] 证明:将m改为x,设F(x) = f(x)-f(x+1/n) 因为f(x)在[0,1]上连续,所以F(x)在[0,1]上连续,得:F(0) = f(0)-f(1/n)F(1/n) = f(1/n)-f(2/n)F(2/n) = f(2/n)-f(3/n)……F(n-2/n) = f(n-2/n)-f(n-1/n)F(n-1/n) = f(n-1/n)-...
麻阳苗族自治县14787879066： 高数之求定义域设f(x)的定义域是【0,1】.问f(x+a)+f(x - a)的定义域是什么? - ？
无雍古汉：[答案] 因为x属于[0,1],所以x+a属于[0,1],所以得x属于[-a,1-a],又由于x+a属于[0,1],所以得x属于[a,a+1].所以当a>1-a,即a>0.5时,定义域为空集;当-a>a+1,即a=-a,即0.5>=a>=0时,定义域为[a,1-a],当-0.5
