如何证明戴得金实数连续性定理
你要清楚，实数完全是人造的，人造实数的目的就是解决
（1）无理数
（2）有理数列极限不再是有理数
这两个问题。
定义实数的方法有两种：
（1）戴德金切割
（2）柯西收敛原理
注意此时我们还不知道什么是实数，只能对 有理数 做上面两种定义。
这样定义出来的东西的集合，叫实数集，再用 抽象代数 和 数理逻辑 方法，证明实数集有个 子集 和 有理数集 具有完全一样的性质（指 运算性质 和 排序性质），
这个 子集 的元素叫做 有理实数，因为跟 有理数 性质完全相同，一般不加区别，也叫 “有理数”。
实数几个定理相互等价，可以互相证明。
上面定义实数的方法，实际上把实数的客观实在性归结为有理数的客观实在性，
用类似方法，从整数出发定义有理数，从自然数出发定义整数，
最终实数的客观性归结为自然数的存在性，也就是 皮亚诺自然数公理http://baike.baidu.com/view/342820.htm
如果再深究，就由自然数公理进入 公理集合论，比如ZFC公理系统。
它里面的某些公理是无法证明的，由此产生了哥德尔不完备性定理。
哥德尔第一不完备性定理的意思是说，如果一个系统包含 皮亚诺自然数公理，那在这个系统内部是不能证明自己对错的。
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(1)是对的，
（2）这个说法挺别扭的。从戴德金切割出发可以证明6个定理中任何一个，比如说A，再从A出发去证明其它5个定理，
一般数学书上之所以搞成6个定理互相证明，跟作者只想以这6个定理为起点、不过多探讨微积分以外的东西有关，
（3）对的，数理逻辑中等价连接词的定义就是两个命题同时真或同时假
to 982413，
不能说百度百科的东西就一定肤浅，从peano系统推出全部算术和实数系统的过程知道的人真的不是很多
http://cache.baidu.com/c?m=9f65cb4a8c8507ed4fece763105392230e54f73d7e96915d68d4e41fc5234c413037bfa67f604955ce8436334bb21107b9ad652e2a1450b08cbefb5daccb8559299f5133676d865612a443e99452609c60c655fedf6df0cbf02592dec5a2a84327cf44040a9781884d7616dd6e800341e0b1ef42025e60ad9c4372895e60589c3430b6&p=837bc016d9c240b108e2927c4a5d9e&user=baidu
这里。。
1.A中有最大，A`中无最小
2.A中无最大，A`中有最大
3.A中无最大，A`中无最小
则每出现第三种情况，就定义了一个新的数，这个数比A中所有数要大，比A`中所有数要小，这就是一个无理数。而在实数轴上任一找一个切点，都可以获得一种分割有理数的方法，都可以定义一个无理数，所以实数和一条实数轴上的点一一对应，所以实数是连续的。
实数的Dedekind分法是在有理数的基础上建立的，将所有有理数分成两个非空集合 A,A`，并且
1）任何一个有理数必属于而且只属于A或A'之一。
2）A中的任何元素a都小于A’中的任何元素a'。
则我们称集合A，A'是有理数集的一个分割，记做A│A',称A为分割的下类，A'为分割的上类。
有理数的分割定义的数可能是有理数，也可能是无理数，统称实数。
狄台金定理：对实数集的任一分割A│A',存在产生这个分割的实数b,这个数 b：1）或者是下类 A中的最大数；2）或者是上类A’的最小数。
证明：（反证法）对实数集的任一分割A│A'，设B是A包含的有理数集合，B'是A'包含的有理数集合。因为Q包含于R，所以B│B'是有理数集的一个分割，该分割定义了一个实数a。它应在A或A'两者之一，假定它落在A，我们要证明1）实现，即a是下类A的最大值，不然我们不妨设下类A有最大值b，b>a,根据补助定理必存在有理数c使得a<c<b，因为c<b,所以c属于a的下类A,所以c∈B，但是c>a,在定义数a的分割下类B中出现了一个比a还大的有理数，矛盾。因此a=b,即a为下类中的最大值。
同理可证2)若上类有最小值，则最小值就是a。
显然，下类A中有最大值，同时A'有最小值，这个不可能的（利用补助定理容易证明）。
实数这个性质称为完备性或连续性（或密接性）。
附：补助定理：任何两个实数a 和b之间必有一个实数c（甚至可以是有理数），即存在c使得a<c<b,因此有无穷多个，所以实数是稠密的。
1+1=2如何证明?
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戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候,对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。另外,到处不连续函数,连续但到处不可微函数,空间填充曲线也被创造出来。在这个背景下,若尔当发展了他的测度理论,康托尔发展了现在的朴素集合论,以及贝尔证明了贝尔纲定理。在20世纪早期,微...
知道复数的发展史吗?
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复数的数系理论
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1+1=2为什么至今没人证明出来,为什么看似简单却难倒众人?又是谁规定的...
又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与N相等。1+1的证明：∵1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3，∴2的后继数是3。根据皮亚诺公理③，可得：1+1=2。虽然说看似一个连小学生都知道的问题，却连著名数学家也不能解出来，希望以后有人能解出来。
汤雄希路： 实数的戴得金分法是在有理数的基础上建立的,将所有有理数分成两个集合 A,A`,使得对A中的任意元素a和A`中的任意元素a`,都有a1.A中有最大,A`中无最小 2.A中无最大,A`中有最大 3.A中无最大,A`中无最小 则每出现第三种情况,就定义了一个新的数,这个数比A中所有数要大,比A`中所有数要小,这就是一个无理数.而在实数轴上任一找一个切点,都可以获得一种分割有理数的方法,都可以定义一个无理数,所以实数和一条实数轴上的点一一对应,所以实数是连续的.
栖霞市15911173707： 什么是戴德金定理?怎么实数连续性证明? - ？
汤雄希路：[答案] 戴德金定理又叫戴德金分割,是一种对无理数的定义方式.戴德金定理:对于实数集的任一分割S|T,或者S有最大实数,或者T有最小实数,二者必居其一.这是给分析建立基础的东西.它和微积分中的某些基础定理是等价的,比如区间...
栖霞市15911173707： 阿基米德性是怎么证明的? - ？
汤雄希路： 用实数的连续性公理——戴德金定理来证明. 由于阿基米德性质与柯西收敛准则共同反映了实数的连续性,所以可以用实数的连续性公理——戴德金定理来证明二者.其中柯西收敛准则的证明,只通过戴德金定理来证明阿基米德性质. 若0<a≤1...
栖霞市15911173707： 数学的连续性证明1怎么证明实数就是连续的?2而且实数包括无理数和 ？
汤雄希路： 1.在《实变函数论》中,实数的连续性由戴德金公理给定.在《拓扑学》中连续可以另行定义:有狭义的,有广义的. 2.有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.非此即彼,没有第三种情况.所以,实数分无理数和有理数. 3.因为实数集和直线上的点集具有相同的势(阿列夫1),所以两者之间存在一一对应.
栖霞市15911173707： 完全看不懂用戴德金准则证明实数连续的过程.证明有理数不连续他是取了无理数做分划点.可证明实数连续 - ？
汤雄希路： 你看的是不是菲赫金戈尔茨的微积分教程?如果是的话,书上规定第三种有理分割即上类中无最小数且下类中无最大数,此时确定一无理数.分割A|B确定j与分割C|D确定k,(A是C的子集且B是D的子集,A,B又是Q的子集,C,D为R的子集)则j=k...
栖霞市15911173707： 证明戴德金原理分点是唯一 - ？
汤雄希路： 戴德金定理又叫戴德金分割,是一种对无理数的定义方式.戴德金定理:对于实数集的任一分割S|T,或者S有最大实数,或者T有最小实数,二者必居其一.这是给分析建立基础的东西.它和微积分中的某些基础定理是等价的,比如区间套定理.实数的连续性证明,依靠的是这些基本定理.对数轴上的无穷集合X进行一次分割,可分为两部分,A,B设A中元素均大于B中的,一般就有三种情况,1.A中有最小,B中无最大2.A中无最小,B中有最大3.A中无最小,B中无最大可知,1,2两种分法,所用的分界能在X中比如,X是有理数集,用x=0.5分割,=0.5};B={b|b0.5};B={b|b
栖霞市15911173707： 请详细写出确界原理证明戴德金定理的过程,谢谢! - ？
汤雄希路： 您好, 戴德金定理 对于R的任意一个分划(A,A'),(其中A是下类)要么A存在最大值,要么A'存在最大值 证明 (以下证明应用结论:实数集R的两个不同元素a,b之间总有有理数) (反证法)假设存在R的分划(A,B).其中A无最大值,...
栖霞市15911173707： 戴德金定理严格的直接证明定理:对于实数集的任一分割S|T,或者S有最大实数,或者T有最小实数,二者必居其一.关键字:严格 直接TIP:复制党,公理... - ？
汤雄希路：[答案] 对R的任一分划(A|B),可以假设B中无最小数,那么这意味着对于任意的a属于A,b属于B,有a小于c小于b且c不属于R.由于此时(A|B)是R的分划,Q又是R的真子集,则(A|B)也是Q的分划.但由R的定义,即R是Q的所有分划的集合知,Q只有两...
栖霞市15911173707： 关于实数连续性和完备性等价证明中的疑惑 - ？
汤雄希路： 你要清楚,实数完全是人造的,人造实数的目的就是解决 (1)无理数 (2)有理数列极限不再是有理数 这两个问题. 定义实数的方法有两种: (1)戴德金切割 (2)柯西收敛原理 注意此时我们还不知道什么是实数,只能对 有理数 做上面两...
栖霞市15911173707： 戴德金定理严格的直接证明 - ？
汤雄希路： 这不是不言自明的么?还需要严格的证明? 对于实数集的任一分割S|T,假设分割点为实数m,则m要么归入S,要么归入T. 当m归入S时,S有最大实数m;当m归入T时,T有最小实数m
