λ²+pλ+q=0，共轭复根为α±βi α,β=？？
r2+pr+q=0,p=-(r1+r2)=4,q=r1r2=5
二阶常系数的齐次线性方程
y"+4y'+5y=0
两者是共轭复根,α±βi,α=-2,β=1
其通解y=e^（-2x）(C1cosx+C2sinx )
不一样：y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]。
= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 。
下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx。
= e^(αx) [c1(cosβx + isinβx) + c2(cosβx-isinβx)]。
扩展资料：
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
二阶常系数齐次线性微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程。
标准形式：y″+py′+qy=0。
特征方程：r^2+pr+q=0。
两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。
一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。
二阶常系数非齐次线性微分方程。
∵一元二次方程没有实根，
∴判别式＝p^2－4q＜0，∴4q－p^2＞0。
由韦达定理，有：（α＋βi）＋（α－βi）＝－p，∴2α＝－p，∴α＝－p/2，∴α^2＝p^2/4。
再由韦达定理，有：（α＋βi）（α－βi）＝q，∴α^2＋β^2＝q，∴β^2＝q－p^2/4，
∴β＝（1/2）√（4q－p^2），
或β＝－（1/2）√（4q－p^2）。
扩展资料：
韦达定理的作用：
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为
（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
参考资料来源：百度百科--共轭复根
参考资料来源：百度百科--韦达定理
β＝（1/2）√（4q－p^2），或β＝－（1/2）√（4q－p^2）。α=-p/2。
∵一元二次方程没有实根。
∴判别式＝p^2－4q＜0，∴4q－p^2＞0。
由韦达定理，有：（α＋βi）＋（α－βi）＝－p，∴2α＝－p，∴α＝－p/2，∴α^2＝p^2/4。
再由韦达定理，有：（α＋βi）（α－βi）＝q，∴α^2＋β^2＝q，∴β^2＝q－p^2/4，
∴β＝（1/2）√（4q－p^2），或β＝－（1/2）√（4q－p^2）。α=-p/2。
扩展资料：
一元二次方程解法：
一、直接开平方法
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1.二次项系数化为1
2.移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3.配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。
4.利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
供参考。
∵一元二次方程没有实根，∴判别式＝p^2－4q＜0，∴4q－p^2＞0。
由韦达定理，有：（α＋βi）＋（α－βi）＝－p，∴2α＝－p，∴α＝－p/2，∴α^2＝p^2/4。
再由韦达定理，有：（α＋βi）（α－βi）＝q，∴α^2＋β^2＝q，∴β^2＝q－p^2/4，
∴β＝（1/2）√（4q－p^2），或β＝－（1/2）√（4q－p^2）。
λ²+pλ=-q
λ²+pλ+p²/4=-q+p²/4
(λ+p/2)²=-q+p²/4
(λ+p/2)²=-(q-p²/4)
λ+p/2=±√(q-p²/4)·i
∴λ=-p/2±√(q-p²/4)·i
∴α=-p/2
β=√(q-p²/4)
申何援生：[答案] x*x+p*x+q=0 即有(x+p/2)*(x+p/2)+q-p*p/4=0 可得(x+p/2)*(x+p/2)=(p*p-4q)/4 所以有(x+p/2)开平方可得正负(p*p-4q)/4开根号 所以可以得到x=[(p*p-4q开根号)-p]/2 其中p*p-4q>=0所以有p>=2倍根号q或者p=0 希望对楼主有所帮助!
凤台县17756704671： 已知、x1=2+3i是实系数一元二次方程x²+px+q=0的一个根求实数p,q及另一个跟x2 - ？
申何援生：[答案] x1=2+3i x2=2-3i x1+x2=-p,x1x2=q p=-4,q=13
凤台县17756704671： 甲乙两个同学解方程.甲乙两个同学解方程x²+px+q=0,甲看错了一次项系数,得根为2和7,乙看错了常数项,得根为1和 - 10,则原方程为------- - ？
申何援生：[答案] 题意给出方程:x^2+px+q=0甲看错了一次项的系数,得根2和7,可见甲没有看错“常数项”,由韦达定理知q=2*7=14乙看错了常数项,得根1和10,可知乙没有看错“一次项系数”,同样由韦达定理知1+10=-p,p=-11将p=-11,q=14代入x^...
凤台县17756704671： 若q(q≠0)是关于x的方程X²+px+q=0 的根,则p+q=—— - ？
申何援生：[答案] q(q≠0)是关于x的方程X²+px+q=0 的根 则q*x2=q x2=1 x2+q=-p则 p+q=-x2=-1
凤台县17756704671： 如果关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两个根分别是2或1那么q的值是多少 - ？
申何援生：[答案] q=2 根据韦达定理 x1x2=c/a 2*1=q/1 q=2
凤台县17756704671： 关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为x1= - 3 x2=1,求p和q的值? - ？
申何援生：[答案] 根据根与系数的关系有: ①-3+1=-p, -2=-p ∴p=2 ②1*(-3)=q ∴q=-3
凤台县17756704671： 已知1+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根,求实数p q的值. - ？
申何援生：[答案] 一个根式1+2i,则另一个根为:1-2i 由韦达定理得:1+2i+1-2i=-p/2,(1+2i)(1-2i)=q/2 得:p=-4,q=10
凤台县17756704671： 求这题用配方法怎么做?x²+px+q=0(p²>4q) - ？
申何援生：[答案] x²+px+q=x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q=(x+(p/2))²-(p/2)²+q=0 (x+(p/2))²=(p/2)²-q>0 (x+(p/2))=±√[(p/2)²-q] x=-(p/2)±√[(p/2)²-q]
凤台县17756704671： 已知关于x的一元二次方程x²+px+q=0.讨论方程的根的情况. - ？
申何援生：[答案] 判别式=p²-4q 当p²-4q=0的时候,有2个相等的实数根 当p²-4q>0的时候,有2个不相等的实数根 当p²-4q
凤台县17756704671： 方程x²+px+q=0,根是x1 x2,如何证明x1+x2= - p,X1*X2=q - ？
申何援生：[答案] x²+px+q=0,根是x1 x2 因此 x²+px+q=0, 可变为 (x-x1)(x-x2)=0 展开得 x^2-(x1+x2)x+x1x2=0 比较x²+px+q=0,得 x1+x2=-p,X1*X2=q
