已知函数(1+ x)^(-1)的泰勒展开式是什么？

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一、分析与解答

1.1）分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。

1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的泰勒展开式如下图所示：

二、泰勒级数的展开方法

泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数。若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数，为泰勒级数的特殊形式。泰勒展开式公式如图所示：

三、推导过程

3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式，用于求其泰勒展开式，如下图：

3.2）代入泰勒展开式公式①和该函数的高阶导数公式②，得：(如图)

四、泰勒级数的用途

4.1）求函数的数值

对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单，直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数，如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数。举例如图所示：

需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算，而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。

4.2）数学理论分析和计算

泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。

如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)；

②一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分；

③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；

④一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。

此类例子数不胜数，不可能一一列举。

（插图用绿色背景展示，以证明其为本人编辑。）

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九里区18796598734： 已知函数f(x)=x+1/x - 1,则f(2)等于 - ？
郗尹蛇胆： 是(x+1)/(x-1)吗? 那答案就是(2+1)/(2-1)=3/1=3 是x+(1/x)-1的话 答案是2+0.5-1=1.5 括号不同的话结果不同,还有其他形式,问问题要清楚,不要有歧义.

九里区18796598734： 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=1+1/x - 1 - ？
郗尹蛇胆： 1) xx>0时, -x2)设x1f(x1)-f(x2)=1/(x1-1)-1/(x2-1)=(x2-x1)/[(x1-1)(x2-1)] 因为x2-x1>0, x1-1所以上式>0 即f(x1)>f(x2) 所以f(x)在x

九里区18796598734： 已知函数f(x)=in(1+x) - in(1 - x) 求f(0);判断此函数的奇偶性并用定义证明 - ？
郗尹蛇胆： (1) f(0) = 0(2) 奇函数,∵ f(x)的定义域 (-1,1),且 f(-x) = - f(x).

九里区18796598734： 已知函数f(x)=In[(x+1)/(x - 1)]《1》求函数的定义域,并证明f(x)=In[(x+1)/(x - 1)]在定义域... - ？
郗尹蛇胆： (1) x-1≠0 (x+1)/(x-1)>0 解得定义域D:(-∞,-1)∪(1,+∞) ∵若x∈D 必有-x∈D 且 f(x)=In[(x+1)/(x-1)] f(-x)=In[(-x+1)/(-x-1)]=In[(x-1)/(x+1)]=-In[(x+1)/(x-1)]=-f(x) ∴f(x)在定义域上是奇函数.(2) In[(x+1)/(x-1)]>In[m/(x-1)(7-x)] In[(x+1)/(x-1)]-In[m/(x-1)(7-x)>0 (x+1)/[...

九里区18796598734： 已知函数f(x)=log2(1+x/1 - x)？
郗尹蛇胆： 1)f(x1)+f(x2)=log2[(1+x1)/(1-x1)]+log2[(1+x2)/(1-x2)]=log2[(1+x1)(1+x2)/(1-x1)(1-x2)] f((x1+x2)/(1+x1x2))=log2[(1+(x1+x2)/(1+x1x2))/(1-(x1+x2)/(1+x1x2))] =log2[(1+x1x2+x1+x2)/(1+x1x2-x1-x2)]=log2[(1+x1)(1+x2)/(1-x1)(1-x2)] ∴f(x1)+f(x2)=f((x1+x2)/(1+x...

九里区18796598734： 有关二阶导数的数学问题已知y=(1 - x)/(1+x) 求该函数的二阶导数?我想问:( - 1)^n· ·(1+x)^( - n - 1) + ( - 1)^n·(n - 1)!·(1+x)^( - n)这个答案是否正确?如果... - ？
郗尹蛇胆：[答案] y=(1-x)/(1+x)=2/(1+x)-1 y'=-2/(1+x)^2 y''=4/(1+x)^3 y(n)=(-1)^n*2*n!/(1+x)^(n+1)

九里区18796598734： 求函数f(x)=(1+x)^2*(1 - x^2)的导数 - ？
郗尹蛇胆：[答案] f'(x) =2(1+x)*(1-x²)+(1+x)²(-2x) =2(1+x)*(1+x)(1-x)-2x(1+x)² =(1+x)²(2-2x)-2x(1+x)² =(1+x)²(2-2x-2x) =2(1+x)²(1-2x)

九里区18796598734： 已知函数f(x)=In(x+1) - x.(1)求函数f(x)的最大值.(2)若x〉 - 1,证明1 - 1/x - 1≤In(x+1)≤x - ？
郗尹蛇胆：[答案] 解1: 由对数的定义,可知x+1>0 解得:x∈(-1,∞) f(x)=In(x+1)-x f'(x)=1/(x+1)-1 f'(x)=[1-(x+1)]/(x+1) f'(x)=-x/(x+1) 令:f'(x)=0,即:-x/(x+1)=0 解得:x=0 当x∈(-1,0]时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈[0,∞)时,f'(x)<0,f(x)是减函数. 当x=0时,f(x)有最大值. ...

九里区18796598734： 已知函数f(x)=log(a)(a^x - 1)(a>0,且a不等于0)(1)求函数f(x)的定义域(2)讨论f(x)的单调性(3)解方程f(2x)=log(a^x+1) - ？
郗尹蛇胆：[答案] 已知函数f(x)=log(a)(a^x-1)(a>0,且a不等于0) (1)求函数f(x)的定义域 (2)讨论f(x)的单调性 (3)解方程f(2x)=log(a^x+1) 【解】:(1)f(x)的定义域:a^x-1>0 a^x>1 (a>0,且a不等于0) 当0

九里区18796598734： 1.已知函数y=x的平方+1分之1,则当x= - 1时,y的值为 - ？
郗尹蛇胆： 1. y=1/(x²+1) 当x=-1时,y=1/[(-1)²+1]=1/2;2. y=2x+1 当x=0时,y=2*0+1=1.希望能够帮助你,有疑问欢迎追问,助学习进步!