为什么 xsin(1/x)趋于无穷等价于xsin(1/x)趋近于0?
作者&投稿：磨屈 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
xsin(1/x)趋于无穷等价于xsin(1/x)趋近于0：因为如果x→∞，那么1/x趋近于0，sin(1/x)趋近于0，因此整体为0。
令t=1/x
则x=1/t
x→∞时，t→0
lim(x→∞)xsin(1/x)
=lim(t→0)(1/t)sint
=1
无穷小量
是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
百卸依帕： 令a=1/x x=1/a x趋于∞则a趋于0 所以原式=lim(a趋于0)sina/a=1
宾川县15014859004： 当x趋近于0时 xsin(1/x)为什么等于0 1/x是无穷大 那sin(1/x)不就没有定义了吗 - ？
百卸依帕： 首先sin(1/x)是个有界函数, 而当x→0的时候,x是无穷小,极限是0 所以有界函数和无穷小相乘,结果还是无穷小, 所以当x→0的时候,xsin(1/x)的极限是0 至于x=0的时候,xsin(1/x)没有定义,这点当然是对的. 但是你看看极限的定义就知道了,有极限和在极限点是否有定义是无关的. 我们只是讨论当x→0的时候,xsin(1/x)是否有极限,没有讨论x=0的时候,xsin(1/x)是否连续. 虽然x→0的时候,xsin(1/x)有极限,极限是0,但是x=0不在xsin(1/x)的定义域内,所以xsin(1/x)在x=0处不连续,是间断点.
宾川县15014859004： x→0时和x→∞时,xsin(1/x)的极限一样吗?为什么? - ？
百卸依帕： 不一样.x→0时,因为0所以lim(x→0)xsin(1/x)=0 lim(x→∞)xsin(1/x)=lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)=lim(t→0)sint/t=1 (令t=1/x)
宾川县15014859004： lim x趋于0arctan1/x.等于pai /2为什么不加上k pai.？
百卸依帕：因为反正切函数的值域是(-π/2,π/2)
宾川县15014859004： 为什么xsin(1/x)不可以用替换法求极限?即设t=(1/x)得 (1/t)sint=1???希望接受指点,谢谢. - ？
百卸依帕： 因为如果x是趋于0的 则t=(1/x)趋于无穷 而1/t趋于0,sint是有限的,所以(1/t)sint=0
宾川县15014859004： 已知函数f(x)=cos2x asinx,当a=2时,求函数f(x)的值域？
百卸依帕： 已知函数f(x)=1/2 cos2x+asinx-a/4的定义域为[0,pi/2],最大值为2,求实数a的值.解:由已知f(x)=1/2 cos2x+asinx-a/4=1/2[1-2(sinx)^2]+asinx-a/4=-(sinx)^2-2*1/2*a*sinx-(a/2)^2+(a/2)^2-a/...
宾川县15014859004： 当x—0或无穷时,xsin1/x的极限解释 - ？
百卸依帕： |sin(1/x)| ≤1-x≤xsin(1/x)≤x lim(x->0)-x≤lim(x->0)xsin(1/x)≤lim(x->0)x0≤lim(x->0)xsin(1/x)≤0=>lim(x->0)xsin(1/x)=0
宾川县15014859004： 求xsin1/x 在X趋近于0 的时候的极限(过程) 求sinx/2x²+1在x趋近于正无穷的极限(过程) - ？
百卸依帕：[答案] (1)-x-1同(1),可知sinx/2x²+1极限为0+1=1 sinx/(2x²+1)极限为0
宾川县15014859004： 当x→∞时,xsin1/x的极限 和 当x→0时,xsin1/x的极限 有什么区别 - ？
百卸依帕： 第二个式子lim(x→0)xsin1/x =lim(x→0)sin(1/x)/(1/x)(令t=1/x)中,因为x趋于0了,那么t=1/x就应该趋于无穷,lim(t→无穷)sint/t是不等于1的
宾川县15014859004： lim xsin(1/x)= x→无穷 解释下过程吧 - ？
百卸依帕： x趋于无穷的时候,1/x趋于0, 么 xsin(1/x)=sin(1/x) / (1/x) 由重要极限可以知道,t 趋于0时,sint /t的极限值为1 所以 sin(1/x) / (1/x)的极限值为1, 那么 lim(x->无穷) xsin(1/x)= 1
