初三数学问题:已知:抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交与A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交与C点 (1)求抛物线
(1)将两点坐标带入曲线中得到
a-b+c=0
9a+3b+c=0
得到
c=-3a
b=-2a
代入抛物线得到y=a(x²-2x-3),令a=1,得
一个符合上述条件的抛物线的函数表达式为
y=x²-2x-3
(2)①依题意得到,c=-3a=3/2,a=-1/2,b=-2a=1得抛物线为y=-1/2(x²-2x-3),
因为,OB为对角线、E为平行四边形的一个顶点,又平行四边形OEBF的面积为45/8,
则,三角形OBE的面积为45/16,OB=3,E到OB的距离d为 |y|(E的纵标绝对值)
则d*OB*1/2=45/16,即|y|*3*1/2=45/16,得到y=15/8或-15/8,
又点E(x,y)是抛物线上位于x轴上方的一个动点,即y>0得到y=15/8,
且
15/8=-1/2(x²-2x-3),得到x=3/2或1/2即E(3/2,15/8)或(1/2,15/8)
判断此时平行四边形OEBF是否为菱形只需判断EO的长度是否等于EB的长度
当E(3/2,15/8)时,易得EO²=EB²=369/64,此时平行四边形OEBF为菱形
当E(1/2,15/8)时,EO²不等于EB²,从抛物线的图形中可轻易发现
则,此时平行四边形OEBF不为菱形
②若存在,则EO²=EB²=1/2OB²=d²=9/2(d为E到OB的距离,也是E到OB中点G的距离,且OG与OB垂直),则E的横坐标为O和B横坐标之和的1/2
即x=(0*3)/2=3/2,代入抛物线曲线得到
y=15/4,EO²=(3/2-0)²+(15/4-0)²=369/64,显然不等,即不存在点E,使平行四边形OEBF为正方形
真不轻松,望采纳
(1)根据表格,x = -2和x = 0时,抛物线上的点的纵坐标相同,即对称轴为x = -1, h = -1
点(0, -3)和(1, 0)在抛物线上:
a + k = -3
4a + k = 0
解得a = 1, k = -4
抛物线为y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)
x = -3, y = m = 0
ak + h = 1*(-1)-4 = -5
(2) A(-3, 0), B(1, 0), C(0, -3), D(-1, -4)
令P(-1, p), 对称轴与x轴交于D'(-1, 0)
tan∠BCO = OB/OC = 1/3
tan∠APD = AD'/D'P = 2/p = 1/3, p = 6
P(-1, 6)
PC的斜率为k = (6 + 3)/(-1-0)= -9,方程为y=-9x - 3
PC与x轴交于P'(-1/3, 0)
△APC的面积 = △APP'的面积+△AP'C的面积 = (1/2)AP'*P的纵坐标 + (1/2)AP'*(-C的纵坐标)
= (1/2)*(-1/3 + 3)*6 + (1/2)*(-1/3+3)*3
= 12
(3)此时抛物线变为y = x^2 + 2x - 3 - k
D1(-1, -4-k), C1(0, -3-k)
CD的方程为y = x - 3
显然FD与FD1相互垂直,FD的斜率为1,则FD'的斜率为-1,即F的纵坐标与DD1的中点的纵坐标相同。
将CD的方程与新抛物线联立,得其纵坐标为y = (-1/2)(7 + sqrt(4k + 1)) (sqrt: 平方根)
该值 = (-4 - 4 - k)/2 (DD中点的纵坐标)
(-1/2)(7 + sqrt(4k + 1)) = (-4 - 4- k)/2
k^2 - 2k = 0
k = 2 (舍去k = 0)
因此用交点式表示为:Y=1/2(X+4)(X-1)=1/2X²+3X/2-2
代入X=0,Y-=-2。所以C坐标为(0,-2)
(2)EF‖AC,简单有三角形BAC相似于三角形BEF
BE/BA=BF/BC
△CEF和△BEF高相等,当CF=2BF时,△CEF面积为△BEF的2倍
此时BF/BC=1/3,所以BE/BA=1/3,
AB=5,则BE=5/3。因此E点坐标为(-2/3,0)
(3)设AC函数表达式为Y=KX+B
代入(-4,0)(0,-2)
B=-2,K=-1/2。所以函数为Y=-X/2-2
由于P在抛物线上,设P坐标为(X,1/2X²+3X/2-2)
PQ平行Y轴,且Q在AC上,因此设Q坐标为(X,-X/2-2)
因为Q点在P上方,所以PQ=-X/2-2-(1/2X²+3X/2-2)=-1/2X²-2X
当X=-(-2)/〔2×(-1/2)〕=-2时,PQ值最大
此时P点横坐标为-2,将X=-2代入抛物线解析式
Y=-3
P点坐标为(-2,-3)
我的答案见图
请给出正确的公式
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