初中数学几何题。 求详解、求速度~ 加分ing。
这里有几何的解题方法也许有用
【题目】
已知在△ABC中,∠CAB=2α,且0<α<30°,AP平分∠CAB,若∠ABC=60°-α,点P在△ABC的内部,且使∠CBP=30°,求∠APC的度数(用含α的代数式表示)。
【解答】
【解法一】
解:
延长AC至M,使AM=AB,连接PM,BM(如图1)
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2= α
在△AMP和△ABP中:
∵AM=AB,∠1 =∠2,AP=AP
∴△AMP≌△ABP
∴PM=PB,∠3 =∠4
∵∠ABC=60°-α,∠CBP=30°
∴∠4=(60°-α)-30°=30°-α
∴∠3 =∠4 =30°-α
∵△AMB中,AM=AB
∴∠AMB=∠ABM=(180°-∠MAB)÷2 =(180°-2α)÷2 =90°-α
∴∠5=∠AMB-∠3= (90°-α)-(30°-α)=60°
∴△PMB为等边△
∵∠6=∠ABM-∠ABC = (90°-α)-(60°-α)=30°
∴∠6=∠CBP
∴BC平分∠PBM
∴BC垂直平分PM
∴CP=CM
∴∠7 =∠3 = 30°-α
∴∠ACP=∠7+∠3=(30°-α)+(30°-α)=60°-2α
∴△ACP中,∠APC=180°-∠1-∠ACP
=180°-α-(60°-2α)
=120°+α
【解法二】
解:
在AB上截取AM,使AM=AC,连接PM,延长AP交BC于N,连接MN(如图2)
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2=α
在△ACN和△AMN中:
∵AC=AM,∠1 =∠2, AN=AN
∴△ACN≌△AMN
∴∠3 =∠4
∵∠ABC=60°-α
∴∠3=∠2+∠NBA=α+(60°-α) =60°
∴∠3 =∠4 =60°
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°
∴∠4 =∠5
∴NM平分∠PNB
∵∠CBP=30°
∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°
∴∠6=∠NBP
∴NP=NB
∴NM垂直平分PB
∴MP=MB
∴∠7 =∠8
∴∠6+∠7 =∠NBP+∠8
即∠NPM=∠NBM =60°-α
∴∠APM=180°-∠NPM =180°-(60°-α)=120°+α
在△ACP和△AMP中:
∵AC=AM, ∠1 =∠2, AP=AP
∴△ACP≌△AMP
∴∠APC=∠APM
∴∠APC=120°+α
(1)如图(1)
∵以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切
∴AF=EF
∵FC²=EC²+EF²
∴FC²=EC²+AF² (1)
∵AC=3
∴AF=AC-FC=3-FC (2)
∵∠B=∠C(等腰三角形,底角相等)
∴cos∠C=cos∠B=1/3
∵∠FEC=90°
∴EC=FC/3 (3)
将(2)、(3)均代入(1)中可得:
FC²=(FC/3)²+(3-FC)²
FC²=FC²(1/9)+ (3-FC)²
(8/9)FC²=(3-FC)²
两边同时除以FC²(FC≠0)
8/9=(3/FC-1)² (4)
∵FC<3
∴3/FC>1
∴3/FC-1>0
将(4)两边同时开方可得
∴3/FC-1=(2/3)√2
∴3/FC=(2√2+3)/3
∴FC=9/(3+2√2)=9(3-2√2)
∴EC=FC/3=3(3-2√2)
∵AB=AC=3 cos∠B=1/3
∴BC/2=AB×cos∠B=3*(1/3)=1
∴BC=2
∴BE=2-EC=2-3(3-2√2)=2-9+6√2)= 6√2-7
∵cos∠B=1/3
∴BD=BEcos∠B
=(1/3)[ 6√2-7]
=2√2-7/3
所以当BD=2√2-7/3时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切
(2)如图(2)
∵x=BD
∴BE=x/cos∠B= x/(1/3)=3x
FC=EC/cos∠C= EC/cos∠B=3EC
EF²=FC²-EC²
=(3EC)²-EC²
=8EC²
=8(2-BE)²
=8(2-3x)² (2>3x)
∵∠GEC=∠B+∠BDE
∴∠GEF+90°=∠B+90°
∴∠GEF=∠B
同理可以得∠GFE=∠C
∵∠B=∠C
∴∠GEF=∠GFE
△EFG为等腰三角形
∵cos∠B=1/3
∴sin∠B=√[(3²-1²)/3²]=(1/3)√[(3²-1²)=(1/3)√8
∴tan∠B=√8=2√2
△EFG的底为EF,
设高为h,
则h=(EF/2)*tan∠GEF=(EF/2)*2√2=EF√2
△EFG的面积为Y
Y=EF*h/2=EF²√2/2
=8(2-3x)²√2/2=4√2 (3x-2)²
三角形的面积解析式为
Y=4√2 (3x-2)²
定义域:
2>3x
∴x<2/3
同时如图(2)-1,x应不小于一个值,只有不小于这个值才能使过F垂直于AC的垂线与线段DE相交于G点,否则不能与DE相交,不能形成三角形△ EFG,由图形可以知,这个值就是当G点与D点重合之时x的取值,此时DG⊥AC于F。
DE=DF=xtan∠B=2√2x
BE=3x
EC=2-3x
EF=2√2(2-3x)
DE=(3/2)EF
2√2x=(3/2)EF=(3/2)2√2(2-3x)= 3√2(2-3x)=6√2-9√2x
11√2x=6√2
x=6/11
所以x≥6/11
因此定义域为6/11≤x<2/3
如图,过点A 做AM⊥BC于点M,
设ME长为x,
根据三角形相似,可得
BD/CE=BE/CF,
CE/CM=CF/CA=EF/AM,
代入数据,可得EF=2√2 - 2√2x ,CF= 3-3x,
线段FA为半径的圆与BC边相切即EF=AF,
依题意,得
2√2 - 2√2 x + 3 -3x=3,
解得 x=2√2 / (3+2√2),
∵BD/CE=BE/CF,
∴有BD / (1-x) = (1+x) / 3(1-x),
∴BD=(1+x)/ 3,
把x= x=2√2 / (3+2√2)代入,
得BD=(3+4√2) / (9+6√2)
当BD=(3+4√2) / (9+6√2)时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切.
{我真的不想写具体过程了,但我也不能肯定我的答案就一定是对的,如果你觉得还行的话,就给分吧~~~第二小题,明天下午会联系你的……)
PS:{有看不懂的问我。。。)
(1)BD=2根号2减去7/3
(2)y=4根号2(3x-2)平方,(6/11<x<2/3)
具体过程可以给你发,qq497885978
1.依题意:∠B=∠C,BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2
以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切即:AF=EF
AF=3-CF=3-3CE ①
EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE ②
①②互代:CE=3/(3+√8)
BD=1/3BE=1/3(BC-CE)=1/3[2-3/(3+√8)]=(3+4√2) / (9+6√2)
即:当BD=(3+4√2) / (9+6√2)时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切.
2.如图,三角形EFG的面积
Y=1/2(EF*GH)
Y=1/2(EF*√2EF) ……(直角△GHE中,GH=√8EH)
Y=√2/2EF^2
Y=4√2EC^2 ……(直角△FEC中,EF=√8EC)
Y=4√2(2-BE)^2 ……(BC=2)
Y=4√2(2-3X)^2 ……(BE=3BD)
Y=36√2X^2-48√2X+16√2
上式即为所求解析式
求定义域,显然,当G点与D点重合时,是x最小值,即:
EF=2/3DE=2/3√8x
EC=BC-BE=2-3x
EF=√8EC
2/3√8x=√8(2-3X)
2/3x=2-3x
x=6/11
当E点与C点重合时,是X最大值,即
x<2/3
所以所求函数的定义域为:6/11<x<2/3
1.依题意:∠B=∠C,BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2
以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切即:AF=EF
AF=3-CF=3-3CE。。。。。。 ①
EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE。。。。。。 ②
①②互代:CE=3/(3+√8)
BD=1/3BE=1/3(BC-CE)=1/3[2-3/(3+√8)]=(3+4√2) / (9+6√2)
即:当BD=(3+4√2) / (9+6√2)时,以点F为圆心,线段FA为半径的圆与BC边相切.
2.如图,三角形EFG的面积
Y=1/2(EF*GH)
Y=1/2(EF*√2EF) ……(直角△GHE中,GH=√8EH)
Y=√2/2EF^2
Y=4√2EC^2 ……(直角△FEC中,EF=√8EC)
Y=4√2(2-BE)^2 ……(BC=2)
Y=4√2(2-3X)^2 ……(BE=3BD)
Y=36√2X^2-48√2X+16√2
求定义域,显然,当G点与D点重合时,是x最小值,即:
EF=2/3DE=2/3√8x
EC=BC-BE=2-3x
EF=√8EC
2/3√8x=√8(2-3X)
2/3x=2-3x
x=6/11
当E点与C点重合时,是X最大值,即x<2/3
那么所求函数的定义域为:6/11<x<2/3
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