已知带权有向图如图7-29所示,请利用Dijkstra算法从顶点V4出发到其余顶点的最短路
v1到v2:10为最短路径;
v1到v3:7为最短路径;
v1到v4:8为最短路径;
v1到v5:v1-> v2 -> v5 =10+6= 16;v1v3v5=7+9=16;v1v4v6v5=8+5+2=15; 15为最短路径;
v1到v6:v1v2v3v6=10+2+9=21;v1v3v6=7+9=16;v1v4v6=8+5=13;13为最短路径;
v1到v7:v1v2v5v7=10+6+20=36;v1v3v5v7=7+9+20=36;v1v3v6v7=7+9+30=46;
v1v4v6v7=8+5+30=42;v1v4v6v5v7=35;35为最短路径
Dijkstra:
求单源、无负权的最短路。时效性较好,时间复杂度为O(V*V+E)。源点可达的话,O(V*lgV+E*lgV)=>O(E*lgV)。当是稀疏图的情况时,此时E=V*V/lgV,所以算法的时间复杂度可为O(V^2)。若是斐波那契堆作优先队列的话,算法时间复杂度,则为O(V*lgV + E)。
以上内容参考:百度百科-最短路径算法
我用自己写的软件运行了一下,只截图顶点1到顶点8吧,橙色线就是最短路径了。
其实从图就不难看出答案,1-5-6-7-4-8。这也是1到各顶点5,6,7,4,8的各点最短路径。
如果顶点1到顶点3就是1-5-6-7-3.
下面开始Dijkstra算法:
和v4相连的且未标记的点有v2和v6,这样更新d2=20,d6=15,选择未标记所有点中最小的d6=15,标记v6已选择,这样我们算出了v4->v6最短距离d6=15;
从v6开始,和v6相连的且未标记的是v2,此时算d6+6=21>20,所以不更新d2,选择未标记所有点中最小的d2=20,标记v2已选择,这样算出了v4->v2最短距离d2=20;
从v2开始,和v2相连的且未标记的有v1和v5,d1=d2+10=30,d5=d2+30=50,选择未标记所有点中最小的d1=30,标记v1已选择,这样我们算出了v4->v1最短距离d1=30;
从v1开始,和v1相连的且未标记的有v3,d3=d1+15=45,选择剩下没被选的所有点的最小的d3=45(d5=50),标记v3已选择,这样我们算出了v4->v3最短距离d3=45
从v3开始,没有出去的路径,不更新距离,选择剩下没被选的所有点的最小的d5=50,标记v5已选择,这样我们算出了v4->v5最短距离d5=50.
此时所有的点都被访问,结束。
注:上面的标记点已选择注意下,在算法的实现中用的是将所有的点放入队列中,一旦一个点被选择就是说求出了最短距离,就从此队列删除该点,一直到此队列为空,结束算法,我写标记只是为了方便理解。
希望能帮你清晰了解Dijkstra算法,图论中很重要的算法之一。
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