在三棱锥P-ABC中,PA=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC。(3)求异面直线AB与PC所成角的大小。
(Ⅰ)证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.(3分)∵PA?平面PAB,∴PA⊥BC.(4分)(Ⅱ)∵PA=PB=6,PA⊥PB,∴AB=23.∵AB⊥BC,∠BAC=30°,∴BC=AB?tan30°=2.(7分)∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,∴PC=PB2+BC2=10.(9分)(Ⅲ)作PO⊥AB于点O,OM⊥AC于点M,连接PM.∵平面PAB⊥平面ABC,∴PO⊥平面ABC,根据三垂线定理得PM⊥AC,∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角.(12分)在Rt△AMO中,OM=AO?sin30°=AO2,易知AO=PO,∴tanPMO=POOM=AOOM=2,(13分)即二面角P-AC-B的大小是arctan2(14分)
建立坐标系,AB中点为O,A在x正半轴上,ABC在平面xOy上,P在z正半轴上
那么A(√3,0,0),B(-√3,0,0),C(-√3,2,0),P(0,0,√3)
(Ⅰ)向量BC=(0,2,0),向量BP=(√3,0,√3)
设PBC的法向量为(a,b,c),那么
2b=0,且√3a+√3c=0
令a=1,则b=0,c=-1,即PBC的法向量为(1,0,-1)
而向量PA=(√3,0,-√3),平行于PBC的法向量
所以PA⊥平面PBC
(Ⅱ)用上面的方法分别求平面PAC和平面ABC的法向量
分别为n1=(1,√3,1),n2(0,0,1)
那么cosα=n1·n2/(|n1||n2|)=√5/5
α=arccos(√5/5),即二面角P-AC-B的大小为arccos(√5/5)
(Ⅲ)向量BA=(2√3,0,0),向量CP=(√3,-2,√3)
cosβ=BA·CP/(|BA||CP|)=6/(2√3*√10)=√30/10
β=arccos(√30/10),即异面直线AB和PC所成角的大小为arccos(√30/10)
此题为例。以B为原点建立空间向量坐标系。B(0,0,0).P(0,0,1).A(1,0,1),c(0,3分之根号6,0)。。。
C点具体算法,我想你因该会把。(AB⊥BC,∠BAC=30°用这个两个条件。因为PA=PB=1,PA⊥PB∴AB=根号2。)
之后就好算了。(1)要证明PA⊥平面PBC,只需要你用PA的向量,去乘以PB,BC的向量,得到乘积为0,就能证明,PA垂直于PB,PC。所以PA⊥平面PBC。
(2)二面角P-AC-B的大小,只需要作PD⊥AC于D,BE⊥AC与E,套用公式算PD,BE的夹角就OK。。。。向量夹角公式。
(3)一样的算法。。。。。
或许算角的那个有些忘了,但是大体思路就是这样。。。。对于高中的数学,特别是立体几何,最最方便的就是想办法去建立空间坐标系,然后用空间向量去算。。。只要计算不错,就能拿满分。。。。比一般的用什么边角关系的做法省去了思考方法的步骤,直接就能开始计算。习惯了之后,以后这类题都不需要思考。计算速度够快的话,能省很多时间。。
不好意思 做不来
三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC上的射影为O。(A)重心(B)外心(C)内心(D...
1、外心。因为顶点P到底面三角形ABC的三个顶点A、B、C的距离相等,且顶点P到底面ABC的射影O在三角形ABC内部,所以O是三角形ABC的外心。2、外心。由于角OAP、角OBP、角OCP都相等,且OA、OB、OC分别是这些角的余弦值乘以OP的长度,因此OA=OB=OC。这说明O是三角形ABC的外心。3、垂心。连接顶点A...
三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC上的射影为O。 (A)重心 (B)外心 (C)内...
∵OP⊥平面ABC,BC∈平面ABC,∴BC⊥OP,∵AP∩OP=P,∴BC⊥平面PAD,∵AD∈平面PAD,∴BC⊥AD,同理AC⊥BE,∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高,∴O是两高的交点,故是垂心。4、垂心,用三垂线定理,即可证明出AD、BE是高,故是垂心。5、内心,分别作三个侧面△的斜高,用三垂线定理,可证...
如图,在三棱锥
如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,且PA=PC=2.(1)求证:AC⊥PB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,D为PC的中点,求异面直线PA与BD所成角的大小.试题答案 在线课程 考点:异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系 专题:空间位置关系与距离,空间角 分析:(1)取AC...
三棱锥P-ABC中,三角形ABC为边长为3的等边三角形,且PA=3,PB=4,PC=5...
思路:寻找棱柱的高,然后代入公式即可,结果发现存在345的直角面,所以P的投影在底部一条边上,于是,空间角度的计算变为平面计算。(3×1.5×√2÷2)×(4×√5÷3)÷3 =√2×4√5 =4√10 若满意,请点赞采纳。
三棱锥P-ABC 中AB垂直于BC,AB=BC=1\\2PA,点O,D分别为AC,PC中点,,OP垂 ...
1、∵OD是三角形APC的中位线,OD‖AP,∵AP∈平面APB ∴OD‖平面APB。2、AB=BC,设AB=1个单位,BC=1,AP=2,〈ABC=90度,△ABC是等RT△,OD=AP\/2=1,S△OBC=S△ABC=1\/2,OP⊥底面ABC,OP⊥AC,AO=OC=OB=√2\/2,OP=√(AP^2-AO^2)=√14\/2,BP=√(OP^2+OB^2)=2,PC...
如图,三棱锥P-ABC中,平面PBC⊥平面ABC,△PBC是边长为a的正三角形,∠BA...
平面PMA,∴平面PMA⊥平面ABC;(3)由(2)得PM⊥平面ABC,得PM是三棱锥P-ABC的高线,∵正△PBC的边长为a,∴PM=3a2,∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=a,∴AC=3BC=3a,可得△ABC的面积为S△ABC=12×AC×BC=32a2,因此,三棱锥P-ABC的体积V=13S△ABC×PM=13×32a2×3a2=14a3.
三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC...
(1)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点,所以EF∥BC,GF∥CP.因为EF?平面PCB,GF?平面PCB,所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.又EF∩GF=F,所以平面GFE∥平面PCB.(2)解:过点C在平面PAC内作CH⊥PA,垂足为H,连接HB.因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以HB...
在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥面ABC,PA⊥BC,△PAB是等边三角形,D是PB中点...
在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥面ABC,PA⊥BC,△PAB是等边三角形,D是PB中点,求二面角P-BC-A的大小。解:过P作AB的垂线;PD ∵平面PAB⊥面ABC;且面PAB∩面ABC=AB ∴PD⊥面ABC;又∵BC在面ABC内 ∴PD⊥BC;又∵PA⊥BC;且PA∩PD=P;PA、PD在面PAB内 ∴BC⊥面PAB ∵AB、PB在面PAB内...
在三棱锥P-ABC中,PA垂直于PB,PA垂直于PC,PB垂直于PC,PA=PB=PC=1,则...
垂直于侧面PBC,所以,三棱锥P-ABC的体积=1\/3*S(PBC)*PA=1\/3*1\/2*1=1\/6。又三角形ABC是等边三角形,边长为√2,则S(ABC)=1\/2*√2*√2*√3\/2=√3\/2,所以 三棱锥P-ABC的体积=1\/3*S(ABC)*h=1\/3*√3\/2*h=√3\/6*h.于是有:√3\/6*h=1\/6,h=√3\/3。
在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AC垂直BC,D为侧棱PC上一点,求证AD垂直...
根据你的命题,因为PA垂直于ABC,所以PA所在的平面都垂直于平面ABC,则平面PAC垂直于平面ABC,两个垂直平面的中的任意一条直线都是相互垂直的,所以AD垂直于BC,只能证明到这边了。因为D点只能是一个特殊的点,因为过一个固定点与一个平面垂直的线,只有一条。
保顺尼可:[选项] A. 30 6 B. 21 6 C. 6 6 D. 3 6
铜陵县18475525507: 线面垂直在三棱锥P - ABC中,PA=PB=PC.AB⊥BC,D为AC中点.求证:PD⊥平面ABC - ?
保顺尼可:[答案] 取BC中点E,连结DE 容易知道,DE垂直于BC(平面几何) 在△PBC中,E是底边中点,有PE垂直于BC 于是,由垂面定理,BC垂直于面PED 有BC垂直于PD 同理,在三角形PAC中,D为底边中点,有PD垂直于AC 于是,由垂面定理,PD垂直...
铜陵县18475525507: 高中数学在三棱锥P - ABC中,PA=PB=AB=√2PC=√2AC=√2BC求PA⊥BC求二面角P - AB - C所成角余线值 - ?
保顺尼可:[答案] 根据题目容易得到△PAB为等边三角形 ,其他三个三角形都是以C为直角顶点的等腰直角三角形.∴BC⊥PC 且BC⊥AC∴BC⊥面PAC ∴PA⊥BC假设AB中点为D,连接CD ,PD 则角PDC即为二面角P-AB-C设PA=PB=AB=√2,则PC=AC=BC=1容...
铜陵县18475525507: 在三棱锥P - ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 - ?
保顺尼可:[答案] 第一个问题: 取AC的中点为D. ∵PA=PC、D∈AC且AD=CD,∴PD⊥AC. ∵PA=PC=AC=4、D∈AC且PD⊥AC,∴PD=(√3/2)PA=2√3. ∵AB=BC=2√2、AC=4,∴AB^2+BC^2=AC^2,∴由勾股定理的逆定理,有:AB⊥AC, 又D∈AC且AD=CD,∴...
铜陵县18475525507: 如图,在三棱锥P - ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.(Ⅰ)求证:DE∥平面PBC;(Ⅱ)求证:AB⊥... - ?
保顺尼可:[答案] (Ⅰ)由D、E分别为AB、AC中点,得DE∥BC .可得DE∥平面PBC (Ⅱ)连结PD,由PA=PB,得PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,推出DE ⊥ AB. AB⊥平面PDE,得到AB⊥PE . (Ⅲ)证得PD平面ABC . 以D为原点建立空间直角坐标系. 二面角的A-PB-...
铜陵县18475525507: 在三棱锥P - ABC中,△ABC是边长为2的正三角形PA=PB=PC= 2 ,则点P到平面ABC的距离为___. - ?
保顺尼可:[答案] 过点B作BD⊥AC,交AC于D,过P作PO⊥BD,交BD于O, ∵△ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC= 2, ∴BD= 4-1= 3,BO= 2 3BD= 23 3, ∴点P到平面ABC的距离PO= (2)2-(233)2= 6 3. 故答案为: 6 3.
铜陵县18475525507: 在三棱锥P - ABC中,已知PA=PB=PC=2,角BPA=角BPC=角CPA=30°,一绳子从A点绕三棱锥侧面一圈回到A点的距离中,绳子的最短距离是?要有解析, - ?
保顺尼可:[答案] 将三棱锥沿过A的一条棱裁开,然后将侧面展开,则△APA',是腰长为2的等腰直角三角形.【∠APA'=30°+30°+30°=90°】 ∴最短距离=√(2²+2²)=2√2
铜陵县18475525507: 三棱锥P - ABC中,PA=PB=CA=CB,D是AB的中点.证明:AB垂直PC? - ?
保顺尼可:[答案] 连接PD,CD, ∵PA=PB=CA=CB,D是AB的中点 ∴AB⊥PD, AB⊥CD 又 PD∩CD=D , PD、CD在平面PCD内 ∴AB⊥平面PCD ∵PC在平面PCD内 ∴AB⊥PC
铜陵县18475525507: 向量法 三棱锥p - abc中,Pa= pb= pc=根号3,ac=bc =根号2,ac垂直 bc,点b到面pac距离 - ?
保顺尼可:[答案] 根据题意(AC⊥BC),如图建立以C为原点,以向量CA为x轴正方向,向量CB为y轴正方向的的空间直角坐标系. 由题意可知A,B,C坐标分别为A(√2 ,0 ,0),B(0 ,√2 ,0) ,C(0 ,0 ,0) 设P点坐标为(x,y,z)则
铜陵县18475525507: 在三棱锥P - ABC中,PA=PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为______. - ?
保顺尼可:[答案] 过点P作PH⊥平面ABC于H, 则∵AH是PA在平面ABC内的射影, ∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角,得∠PAH=60°, ∴Rt△PAH中,AH=PAcos60°= 3 2,PH=PAsin60°= 3 2, 设三棱锥外接球的球心为O,∵PA=PB=PC, ∴P在平面ABC内的射...