高数：微积分中对斯托克斯公式的理解，纠结中。。。

斯托克斯公式什么情况下用第一个公式，什么时候用第二个公式？还有，高等数学中曲线，曲面，对坐标的，对~

可以从如下三个方面去阐述你的问题。


1. 什么是曲面积分？
先看一个例子：设有一构件占空间曲面Σ，其质量分布密度函数为(密度分布)ρ（x,y,z），求构件的质量。　　同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用ρS（这里的S代表的是面积,下同）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分；　　dm=ρ（x,y,z）*ds；m=∫ρ（x,y,z）*ds，就是对面积的曲面积分。
2 .曲面积分的类别：
对面积的曲面积分（第一类曲面积分）；　　对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）；　　对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分：　　∫∫f(x,y,z)dS；　　而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分：　　∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz；
两种曲面积分之间的关系：
两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影；　　设dS是积分曲面Σ上的面积元素。　　设Σ的方程为z=(x,y)，Σ在xOy平面上的投影区域D是有界闭区域，z=(x,y)在D上具有连续的偏导数，于是：　　dS/(dxdy)=1/cosθ，θ是面积元素dS和坐标平面的夹角；　　积分曲面Σ上任意一点的法向量为（〥z/〥x，〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏导数，〥z/〥x表示z对x偏导数，是整体符号，下同）,xOy平面的法向量取（0，0，1）；　　于是1/cosθ=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]；　　所以dS=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy，Σ上的点为（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)dS存在，且在积分曲面Σ上的曲面积分有：　　∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)*√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy 　　这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了。　　而对于∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分，积分曲面可能需要同时向三个坐标平面 xOy,xOz,yOz投影,投影的方式和上面的方法一样。实际上如果面积元素dS与三个坐标平面的夹角分别为α，β，γ，则有dxdy=cosαdS;dxdz=cosβdS,dydz=cosγdS; 　　而α，β，γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成：　　∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=∫∫[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosγ+R(x,y,z)cosβ]dS 　　在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性，即夹角的大小，在夹角大于π/2的时候，其余弦值是负的。

3.格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。
一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。

高斯定理将一个矢量在闭合曲面的面积分（通量），转化为了这个矢量的散度对该闭合曲面所包围体积的体积分。
斯托克斯定理将一个矢量沿闭合曲线的环路积分（环量）（线积分），转化为了该矢量的旋度对以该闭合曲线为边界的任意曲面的面积分。
你图片中的公式，用哈密顿算符（倒三角）表示更简洁些，可能意义更明了。更深入的理解，建议你多看看几类用这两个定理比较多的领域的书：《高等数学》、《电磁场与电磁波.》《流体力学》等

我只能说一楼在不懂装懂
正如你所说，斯托克斯公式只是说是曲线围成的曲面（重点在“只是”）
所以真相是只要是以这个曲线为边界的曲面就行（严格说是“分片光滑的有向曲面”，并且符合右手定则）
这道题里就是对椭球面和平面积分都行
但是对平面的积分好算，所以答案便对平面积分
最后一点，教材上都会给出两种形式的斯托克斯公式
此题答案用的就是第一类曲面积分那种形式
至于如何计算相信楼主一定会
这个答案不但正确，而且简洁
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对于你补充的，我只想说如果你的话条理清晰一些，专业一些，咱们是可以交流一下的，但你所说的话实在让我看不懂
1.什么叫“只有当一个空间曲面是被一个平面截取时，才可以对截得的平面部分进行积分”，是我说的吗？还是你编的？
2.你说“很多情况下，题目给出的是参数形式的曲线，也就是说，这一条闭合曲线无法位于一个空间平面上！”，这句话没错，但这不废话吗？我的回答是针对这道题目的，对这道题应该对平面积分。
3.什么叫“空间被截曲面”？
4.我提到“第二类曲线积分”了？
5.在我看来第一类第二类曲面积分只是名称而已，交流时大家明白就好，况且其优劣并不是你所能妄加评论的
6.你的原回答，更是漏洞百出，比如你说“自然就是对相应的空间曲面，也就是以“椭球面和平面的交线”为边界的椭球上的曲面的积分························从而将空间曲面积分变成一个二重积分”，你这“自然”是你自己一厢情愿吧，你错了，没什么自然，好好看看我的回答，而且什么叫“相应的空间曲面”？？？一条闭合的空间曲线可以围成无数个空间曲面你懂吗？？？告诉我哪个是它“相应的空间曲面”？？？
7.还有你说“接着往下看，第二个等号后的dS，已经换成了相应的坐标平面上的面积微元了！！！”一派胡言，这一步还是在对空间平面积分，并且这道题最后也没有化到坐标平面上去算你懂吗，人家最后用到了面积你懂吗？更谈不上你说什么“这个dS太不专业了咩~~~人家英文版教材，dS用来表示空间面积微元，坐标平面上的面积微元是用dσ来表示的”
8.不要看了几眼国外教材，然后在没学明白的情况下对“国内”妄加指责！
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近代数学国内肯定是要落后于国外的，不然那些定理法则不会全是以外国人的名字命名，但是既然是在这里的交流还是要用国内的方式，一楼的表达能力确需加强
我确实没看过外国教材，经你一说以后有机会一定要研究一下
就这样吧

首先，强烈建议你买一本英文版的微积分教材来看。我们学校的微积分是双语的，个人认为中文版（同济大学第五版）总是没有英文版的教材易懂（不止是微积分，其它理工科教材也是这样）。本人因为微积分挂了，已经恶补了半个暑假了。英文版的教材只有级数和微分方程这两章没搞定了，其它章节包括习题在内都差不多吃透了。对于格林公式，高斯公式（也就是中文教材所说的什么“通（流）量—散度公式”），斯托克斯定理有了一些自己的体会。说出来或许对你也有很大帮助。
斯托克斯公式（英文书上是Stocks`Theorem）中所说的曲面，指的是空间中的曲面（当这个面落在坐标轴平面上时，可视为二维平面，此时斯托克斯公式等效于格林公式，同时也等效于二维情况下的通量—散度公式），所说的曲线，指的是这个空间曲面（或二维平面）的边界曲线。你所问到的，“如果曲线是椭球面和平面的交线”的话，那么斯托克斯公式左端的曲线积分，应当是对“椭球面和平面的交线”的曲线积分，而斯托克斯公式右端的曲面积分，自然就是对相应的空间曲面，也就是以“椭球面和平面的交线”为边界的椭球上的曲面的积分。写出对这个所截得的椭球曲面的积分后，再通过将空间曲面积元ds变成x-y平面（或x-z，z-y平面）上的面积元ds`，从而将空间曲面积分变成一个二重积分。我这么解释应该可以解决你第一个问题吧？
至于你给出的这道题，我通过你贴的这张图来和你解释。从“因而”开始，第一个等号后的dS，是空间曲面微元，这一点和斯托克斯公式的右端是一样的。前面的一个三阶行列式，在英文版的教材看来，正是“curl”，也就是旋度这个东东（所以说强烈建议你去看英文版的教材，中国的译者不给力啊~~TOT）。接着往下看，第二个等号后的dS，已经换成了相应的坐标平面上的面积微元了！！！这个dS前的东西为什么是3个负根号3分之一，我实在是不会用中文教材的那一套说法来和你解释，老外的英文版教材真的真的很专业，而且非常比中文教材好理解！而且，这个dS太不专业了咩~~~人家英文版教材，dS用来表示空间面积微元，坐标平面上的面积微元是用dσ来表示的！！！所以说强烈建议你看英文原版教材的咩~~~~~呃。。差不多就是这样了，还有什么不懂的没~~
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我是一楼。
国内教材相比国外教材，肯定是比不了。这一点不光我说了，我的任课教师也是这么说的。川大的高数课程一种是用中文版教材，还有一种是用英文版教材。我只想说采用英文教材的课程一般学生还选不了。
国内教材我是没怎么看过，我也只会用英文书上的那一套来解释这道题。一楼的回答我也说过了，我是先从一般角度来讨论，然后再具体分析这一道题。有些说法是有些不太规范，本人表达能力有限，语文学得不好，就这样了。
对于中文书上说的“第二类曲面积分”，好像有一个关于正负号的问题，什么时候是正号，什么时候是负号(我印象中好像是这样，不是的话欢迎纠正)。我只知道在英文书中采用的是“单位法向量”，从而可以很快地判断出来（我只会这么表达意思了，您要看不明白再说）。您说的我都看得明白，但我可以肯定地说，英文教材的表述绝对比中文教材的更加好理解。数学学院的微积分任课老师都这么在课堂上说过。
反正就这样了，我语言表述的的确和我所想的有偏差。那就按你的说法来好了。
理工科教材，国外胜于国内。这一点不用我多说。这更不是什么崇洋媚外，人家先进的自然要学。
最后重申，英文版教材我现在可以说是精通其道。我承认表述上有欠缺，说玩了，欢迎一切形式的交流与还击。

确切的说，不论对截得的平面积分还是对椭球面积分是一样的哪个简单选择哪个。因为斯托克斯公式应用的条件说的很清楚，对于一个特定的曲线进行特定的积分等于对这个曲线确定的任意一个曲面（符合条件的曲面）进行特定的积分。也就是说，只要曲线确定了，那么有无数个曲面可以选择，只要满足斯托克斯公式的条件即可。在写题是自然选简单，你上面那道题也可以用椭球面积分，但比较麻烦。看看高数书吧。好好看看斯托克斯公式的定义。不会了再问。
强列要求！！！！！！！！！先看我的解释！！！！上面几个人快打起来了，说的太乱了。我看他们的解释都糊涂了！！！！！！！！

向量A的旋度rotA,有向曲面Σ,Σ的正向边界Γ
那么斯托克斯公式: ∮{Γ}A•ds=∫∫{Σ}rotA•dS
右边的曲面积分中的Σ可以是任意的以Γ为正向边界的曲面

就题目而言即可是椭球面也可是平面,以计算简便为准来选取
理论上你完全可以用椭球面来计算.
平面的话dS的计算当然简便,没人会用椭球面来计算吧 = =

我是一楼。
对于二楼的说法，只有当一个空间曲面是被一个平面截取时，才可以对截得的平面部分进行积分。
很多情况下，题目给出的是参数形式的曲线，也就是说，这一条闭合曲线无法位于一个空间平面上！
这么一来，根本就找不到一个处于空间的平面来进行积分，仍旧需要回到斯托克斯公式的原意上来，即对空间被截曲面进行积分，然后通过将之转化成对坐标平面积分来计算。
二楼口中的“第二类曲线积分”就是国内教材的“原创”，很狗血。外国教材根本就没提过什么“第一类第二类”。国内所说的“第二类积分”实质是通过单位法向量与曲面微元而推导出来的，国外的这一证券市场无论是逻辑还是条理都远胜过国内。国内985院校微积分都开有双语课的

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郟炭优克： 向量A的旋度rotA,有向曲面Σ,Σ的正向边界Γ 那么斯托克斯公式: ∮{Γ}A•ds=∫∫{Σ}rotA•dS 右边的曲面积分中的Σ可以是任意的以Γ为正向边界的曲面 就题目而言即可是椭球面也可是平面,以计算简便为准来选取 理论上你完全可以用椭球面来计算. 平面的话dS的计算当然简便,没人会用椭球面来计算吧 = =

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新巴尔虎左旗15150014026： 高数环流量的几何意义是什么?斯托克斯公式表示环流量,几何意义是什么啊? - ？
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