求证:过三棱锥P-ABC的棱PA,PB,BC,AC的中点M.N.T.R的截面把该三棱锥的体积二等分
由三角形中位线定理，有：PC∥NT，PC∥MR，∴AC∥面MNTR，
同理，有：AB∥MN，AB∥RT，∴AB∥面MNTR，
即面MNTR与PC、AB都平行，又面MNTR过PA、PB、BC、AC的中点，
∴PC、AB到面MNTR的距离相等，
∴P－MNTR和A－MNTR是同底等高的四棱锥，∴P－MNTR的体积＝A－MNTR的体积。······①
∵N是PB的中点，∴点P到面ABC的距离a是点N到面ABC的距离b的2倍，得：a＝2b。
∵T是BC的中点，∴△ABT的面积＝△ACT的面积
∵R是AC的中点，∴△CTR的面积＝△ACT的面积/2。
∴△ABT的面积＝2△CTR的面积。
∵P－CTR的体积＝△CTR的面积×a/3＝2b×△CTR的面积/3。
N－ABT的体积＝△ABT的面积×b/3＝2b×△CTR的面积/3，
∴P－CTP的体积＝N－ABT的体积。······②
①＋②，得：P－MNTR的体积＋P－CTR的体积＝A－MNTR的体积＋N－ABT的体积。
上式的左右两边正是被MNTR分割的两部分体积，于是问题得证。
连接MC、NC
下面证明：V（N-PMC）=V（B-CPA）*（1/4)
∵PM=MA=(1/2)*PA
∴S△CPM=S△MAC=(1/2)*S△CPA（∵△CPM、△MAC、△CPA在边PM、MA、PA上的高相等）
∵PN=NB=(1/2)*PB
设三棱锥N-PMC底面PMC上的高为H1，三棱锥B-CPA底面CPA上的高为H2
易证：H1=(1/2)*H2（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-PMC）=V（B-CPA）*（1/4)
连接RN
下面证：V（N-RTC）=V（P-ABC）*（1/8)
∵CR=RA，CT=TB
∴RT=(1/2)*AB
设△CRT边RT上的高为h1，△CAB边AB上的高为h2
易证：h1=(1/2)*h2（若不明白怎么证可追问我）
∴S△CRT=(1/4)*S△CAB
设三棱锥N-RTC底面RTC上的高为H3，三棱锥P-ABC底面ABC上的高为H4
易证：H3=(1/2)*H4（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-RTC）=V（P-ABC）*（1/8)
下面再证：V（N-RMC）=V（P-ABC）*（1/8)
∵AM=MP，AR=RC
易证：S△MAC=(1/2)*S△CPA，S△MRC=(1/2)*S△MAC（若不明白怎么证可追问我）
∴S△MRC=(1/4)*S△CPA
设三棱锥N-RMC底面RMC上的高为H5，三棱锥B-CPA底面CPA上的高为H6
易证：H5=(1/2)*H6（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-RMC）=V（P-ABC）*（1/8)
∴V（PCMNRT）=V（N-RMC）+V（N-RTC）+V（N-PMC）=(1/2)*V（P-ABC）
题设得证。
我希望楼主2个问题都采纳我。
连接MC、NC
下面证明：V（N-PMC）=V（B-CPA）*（1/4)
∵PM=MA=(1/2)*PA
∴S△CPM=S△MAC=(1/2)*S△CPA（∵△CPM、△MAC、△CPA在边PM、MA、PA上的高相等）
∵PN=NB=(1/2)*PB
设三棱锥N-PMC底面PMC上的高为H1，三棱锥B-CPA底面CPA上的高为H2
易证：H1=(1/2)*H2（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-PMC）=V（B-CPA）*（1/4)
连接RN
下面证：V（N-RTC）=V（P-ABC）*（1/8)
∵CR=RA，CT=TB
∴RT=(1/2)*AB
设△CRT边RT上的高为h1，△CAB边AB上的高为h2
易证：h1=(1/2)*h2（若不明白怎么证可追问我）
∴S△CRT=(1/4)*S△CAB
设三棱锥N-RTC底面RTC上的高为H3，三棱锥P-ABC底面ABC上的高为H4
易证：H3=(1/2)*H4（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-RTC）=V（P-ABC）*（1/8)
下面再证：V（N-RMC）=V（P-ABC）*（1/8)
∵AM=MP，AR=RC
易证：S△MAC=(1/2)*S△CPA，S△MRC=(1/2)*S△MAC（若不明白怎么证可追问我）
∴S△MRC=(1/4)*S△CPA
设三棱锥N-RMC底面RMC上的高为H5，三棱锥B-CPA底面CPA上的高为H6
易证：H5=(1/2)*H6（若不明白怎么证可追问我）
∴V（N-RMC）=V（P-ABC）*（1/8)
∴V（PCMNRT）=V（N-RMC）+V（N-RTC）+V（N-PMC）=(1/2)*V（P-ABC）
题设得证。
我希望楼主2个问题都采纳我。
如图,已知三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直AC,PA=AC=2\/1AB=1,N...
解：（1）分别以AP、AB、AC为边，建立坐标系，AP为Z轴,AB为Y轴,AC为X轴，得到各点的坐标为A（0，0，0），B（0，1，0），C（0.5，0，0），P（0，0，0.5）N（0，0.25，0），M（0，0.5，0.25），S（0.25，0.5，0）所以，得到向量CM=（-0.5，0.5，0.25），向量SN=...
已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=4,AP=5
所以，PA⊥AB，PA⊥AC，可得：PB = √(PA²+AB²) = √(PA²+AC²) = PC ；PD是等腰△PBC底边上的中线，可得：PD⊥BC，AD是等腰直角△ABC斜边上的中线，可得：AD⊥BC，AD = (√2\/2)AB = 2√2 ；所以，二面角P-BC-A的大小为：∠ADP = arcctg(AD\/AP) = ...
如图,已知三棱锥P-ABC,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC=CA=4,PA=23,PC=2,D是...
∴∠ARK即为直线EF与平面ABC所成的角，∵tan∠ARK=33，∴直线EF与平面ABC所成角的正切值为33．（III）如图所示，取AC的中点O为坐标原点，OA，OB分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系．假设在CB存在一点G使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为π4．A（2，0，0），B(0，23，0)，C（-2，...
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,则下列命题正确的是:
3过H做AB平行线，HD,连接PH，因为PH垂直于BC,且等分BC,所以PB=PC，易证，平面PHD垂直于面ABC,则PD垂直于AC，易证，AD=CD，则在三角形PAC中，PD垂直平分AC，则PA=PC。4连接CH并延长交AB于D，△ABP等腰得出，PD垂直于AB,从而面PDC垂直于AB,则CD垂直于AB，则CD为AB的中垂线。同理证三边，则...
过正三棱锥P-ABC的侧棱PA作垂直于对棱BC的截面
过正三棱锥P-ABC的侧棱PA作垂直于对棱BC的截面 所以易得E为BC中点 同时因为 垂直于对棱BC的截面 所以角DEA也为棱锥侧面与底面所成二面角 先求S三角形面积 然后求内切球半径(用正三棱锥体积\/正三棱锥表面积来算比较快)通过比值得出侧棱长与底边长的关系 可得正切值 由于过程过于烦琐而且符号难打...
已知三棱锥P–ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C...
解：本题可用解析几何法。∠ABC=60°, AB=BC ==> 等边ΔABC，设边长为a，则有 PA=AB=AC=BC=a=6 以点B为原点，以平行于ΔABC的BA边中线方向为x轴正方向，BA为y轴正方向，BP为Z轴正方向建立如图空间直角坐标系。则各点坐标为：P(0,0,a)，A(0,a,0)，B(0,0,0),C(a√3\/2,a\/...
...设ap等于1,a d等于根号三,三棱锥p-a b d的体积v等于4分之根号_百 ...
求证pb平行平面aec设ap等于1,ad等于根号三,三棱锥p-abd的体积v等于4分之根号三,求a到平面pbc的距离... 求证pb平行平面aec设ap等于1,a d等于根号三,三棱锥p-a b d的体积v等于4分之根号三,求a到平面pbc的距离 展开 我来答 1个回答 #热议# 已婚女性就应该承担家里大部分家务吗?不...
三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,D为底面ABC内一点,∠APD=45°...
如图，在线段 PD 上取点 H ，过 H 作平面 α ，使 PH丄α ，设 α 与 PA、PB、PC 分别交于 E、F、G ，连接 EF、FG、GE，延长 GH 交 EF 于 M ，连接 PM ，易证 H 为三角形 EFG 的垂心，GM丄EF，设 PH = x ，容易求得 PF = 2x，PE = √2x ，因此 EF=√6x ，所以 PM ...
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=2,M为AB的中点,四点P...
(1)证明：∵AC=BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB， ∵PA⊥平面ABC，CM 平面ABC，∴PA⊥CM，∵AB∩PA=A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，∴CM⊥平面PAB，∵CM 平面PCM， ∴平面PAB⊥平面PCM。 (2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB，∵PM 平面PAB，∴CM⊥PM， ∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC， ...
过正三棱锥P-ABC的侧棱PA作垂直于对棱BC的截面
1，由于球和正三棱锥都是对称图形，可以得到球心O和顶点P的连线垂直底面ABC于O'.2,由于球O内切与P-ABC，那么球心到面PBC与面ABC的距离相等，即球心在角PEA的角平分线上。设O'E=a,则PO'=a×tgθ,AE=3a,S△PAE=1.5a^2×tgθ。S△PAE\/S球=9√3：8π S球=4πR^2 a^2×tgθ=...
彩钥苦参：[答案] 根据题意,三棱锥P-ABC是正三棱锥,设P在底面的射影是E 延长AE交BC于D,连接PD、OA、OB、OC ∵,△ABC是边长为3的等边三角形, ∴AE= 3 3AB= 3,DE= 3 6 ∵半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点, ∴球心O在PE上,设OE=x 则AO...
临泽县19653422569： 如图,在三棱锥P - ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB(Ⅱ)设点E为棱PA的中点,求三棱锥P - EBC的体积. - ？
彩钥苦参：[答案] (Ⅰ)证明:取AB中点D,连结PD,CD ∵AP=BP, ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD=D. ∴AB⊥平面PCD. ∵PC⊂平面PCD, ∴PC⊥AB; (Ⅱ) 在Rt△ABC中,AC=BC=2 ∴AB=2 2, 在Rt△PDB中,PB=2 2,BD= 2 PD= PB2-BD2= 6, 又∵...
临泽县19653422569： 三棱锥P - ABC的棱PA=PB=PC=2且两两垂直,则该三棱锥的内切球半径是------ - ？
彩钥苦参： 设三棱锥的内切球半径是r,则 ∵三棱锥P-ABC的棱PA=PB=PC=2且两两垂直,∴三个互相垂直的面的面积为2,另一个面的面积为2 ∴三棱锥P-ABC的体积为*2*2=(6+2)r ∴r= 故答案为:
临泽县19653422569： 已知三棱锥P - ABC的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直,且三个侧面的面积分别是S1,S2,S3,求三棱锥的体积? - ？
彩钥苦参： 设PA、PB、PC分别为a,b,c,则有ab/2=S1,bc/2=S2,ac/2=S3,则三棱锥体积等于S1*c*1/3=abc/6=[根号下(8S1S2S3)]/6
临泽县19653422569： 如图,在三棱锥P - ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点,连接DE,DF,EF.(1)求证:平面DEF∥平面ABC;(2)若PA=BC=2... - ？
彩钥苦参：[答案] 【分析】(1)由已知中D、E分别是棱PA、PB的中点,根据三角形中位线定理,我们可以得到DE∥AB,由线面平行的判定定理可得DE∥平面PAB,同理可证DF∥平面PAB,进而由面面平行的判定定理,我们可得平面DEF∥平面ABC; (2)若PA=BC=...
临泽县19653422569： 已知三棱锥P - ABC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证:平面DEF∥平面ABC - ？
彩钥苦参： 证明:由题可知D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点 所以:DE,EF,DF分别是三角形PAB,三角形PBC,三角形PCA的中位线 所以:在三角形 PAB中DE平行于AB 在三角形PBC中EF平行于BC,所以:DE平行于面ABC, EF平行于面ABC.又因为:DE与EF相交于点E 且:平面上相交的两条直线都平行于另一个平面,则两条相交直线所在的平面与那一平面平行(是你们书上的一条定理,我叙述的不是特别准确) 所以:平面DEF平行于平面ABC (因为我是手机写的符号打不出来,你自己会改吧)
临泽县19653422569： 如图,在三棱锥P - ABC中,侧棱PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E、F分别是棱BC、PC的中点.(Ⅰ)证明:EF∥平面PAB;(Ⅱ)证明:EF⊥BC. - ？
彩钥苦参：[答案] 证明:(Ⅰ)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥PB. 又EF⊄平面PAB, AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB. (Ⅱ)∵侧棱PA⊥底面ABC, ∴PA⊥BC, 又由AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB, ∴BC⊥PB, 又∵EF∥PB, ∴EF⊥BC.
临泽县19653422569： 已知三棱锥p - ABC的三条棱PA =PB=PC,O是三角行ABC的外心,求证op垂直于三角形abc - ？
彩钥苦参： 作OD⊥AB OE⊥AC 因为 O是三角形ABC的外心,所以必有OA=OB=OC 所以 D和E分别是线段AB和AC的中点 又因 PA=PB=PC 所以 PD⊥AB PE⊥AC 由此可知 AB⊥三角形PDO AC⊥三角形PEO 从而有 PO⊥AB PO⊥AC 故而证得 PO⊥三角形ABC
临泽县19653422569： 已知三棱锥P - ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直,且长度分别为3 4 5 ,求三棱锥外接球的表面积和体积 - ？
彩钥苦参： 因三条侧棱PA PB PC两两垂直,则可看作一个长方体一个顶点的相邻三条棱组成的三棱锥,其三棱锥外接球和长方体的外接球相同.外接球直径就是长方体的对角线,对角线的平方为三条棱的平方和,2R=√( 3^2+4^2+5^2)=5√2,R=5√2/2,表面积S=4πR^2=50π,体积V=4πR^3/3=125√2π/3.
临泽县19653422569： 急·····在三棱锥p - abc中,定点p在平面abc内的射影是三角形abc的外心,求证:pa=pb=pc - ？
彩钥苦参：[答案] 你先画出图象来 外心就是外接圆的圆心 将P点与那个射影点O连接起来 在连接 Oa Ob Oc 这样就有 3个直角三角形 半径和垂直距离都相等 由勾股 得 Pb=Pa=PC
