线性代数题急 求一个正交变换X=Py,将二次型f(x1,x2,x3)=5x1^2+5x2^2+2x3^2-8x1x2-4x1x2+4x2x3化为标准型。

两个线性代数问题 1.用正交变换x=Py化二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+5x2^2+5x3^2+4x1x2-4x1x3-8x2x3934标准...~

A的特征值为: 10,1,1
特征向量分别为 a1=(1,2,-2)',a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交
P=
1/3 2√5 2/√45
2/3 -1√5 4/√45
-2/3 0 5/√45
则X=PY是正交变换,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2
字数限制 无奈

记X' = (x1, x2, x3);
那么f(X) = X' A X
其中 A = [ 2, -1, -1; -1, 2, -1; -1, -1, 3]
因为X = PY是正交变换
代入f(X)得到：
f(Y) = Y' (P'AP) Y是一个标准型，那么(P'AP)是一个对角矩阵。
这样就很简单了，只要对A对角化就行了。
下面你自己做下去吧！不会可以追问，或者看一题对角化的例题，呵呵，加油。

解: 二次型的矩阵 A =
5 -4 -2
-4 5 2
-2 2 2

|A-λE| =
5-λ -4 -2
-4 5-λ 2
-2 2 2-λ

r1+2r3,r2-2r3
1-λ 0 2(1-λ)
0 1-λ -2(1-λ)
-2 2 2-λ

c3+2c2
1-λ 0 2(1-λ)
0 1-λ 0
-2 2 6-λ

= (1-λ)[(1-λ)(6-λ)+4(1-λ)]
= (1-λ)^2(10-λ)

所以 A 的特征值为 λ1=λ2=1,λ3=10.

(A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,2)'
正交化得: b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,4)'
单位化得: c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√18,-1/√18,4/√18)'

(A-10E)X=0 的基础解系为: a3=(-2,2,1)'
单位化得: c3=(-2/3,2/3,1/3)'

令P=(c1,c2,c3)=
1/√2 1/√18 -2/3
1/√2 -1/√18 2/3
0 4/√18 1/3

则 P为正交矩阵
X=PY是正交变换, 使
f = y1^2+y2^2+10y3^2

---

平桥区17048238969： 线性代数题急 求一个正交变换X=Py,将二次型f(x1,x2,x3)=5x1^2+5x2^2+2x3^2 - 8x1x2 - 4x1x2+4x2x3化为标准型. - ？
之非蛋氨： 从你给的答案看题目有误, f 中倒数第2项应该是 -4x1x3 请参考解答:http://zhidao.baidu.com/question/293655898.html 补充:前面得到了 A 的特征值 λ1=λ2=1,λ3=10,c1,c2,c3 是对应的特征向量 必有 P^-1AP = diag{λ1,λ2,λ3} = diag{1,1,10} 所以 对应的二次型就是 f = y1^2+y2^2+10y3^2

平桥区17048238969： 求一个正交变换X=PY,将二次型f=2x12+4x1x3+6x22+2x32化为标准形(要求:写出正交变换和标准形). - ？
之非蛋氨：[答案] 因为二次型f=2x12+4x1x3+6x22+2x32, 所以二次型f的矩阵为A= 202060202 由 .A−λE.= .2−λ0206−λ0202−λ.=0,可得... cc388a4b74323796a8ccf0d20302918b＂,title:＂求一个正交变换X=PY,将二次型f=2x12+4x1x3+6x22+2x32化为标准形(要...

平桥区17048238969： 求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型 - ？
之非蛋氨：[答案] 二次型的矩阵 A= 2 0 0 0 3 2 0 2 3 |A-λE| = 2-λ 0 0 0 3-λ 2 0 2 3-λ = (2-λ)[(3-λ)^2-2^2] = (1-λ)(2-λ)(5-λ). 所以 A 的特征值为 1,2,5. (A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'. (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'. (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'. a1,a2,a3 ...

平桥区17048238969： 线性代数题急 求一个正交变换X=Py,将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+4x2x3化为标准型. - ？
之非蛋氨： 二次型 f(x1,x2,x3) = x1x2+4x2x3 的矩阵 A = [0 1/2 0] [1/2 0 2] [0 2 0] |λE-A| = λ^3-17λ/4, 解得特征值 λ=0,±√17/2. 对于 λ=0, λE-A = [0 -1/2 0] [-1/2 0 -2] [0 -2 0] 行初等变换为 [1 0 4] [0 1 0] [0 0 0] 得特征向量 (4, 0, -1)^T, 单位化为 (4/√17, 0, -...

平桥区17048238969： f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3,求一正交变换x=py,将此二次型化为标准型.那是X - ？
之非蛋氨：[答案] f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为 A=[(0,1,1)T,(1,0,1) T,(1,1,0) T];下面将其对角化: 先求A的特征值,由|... P为所求正交变换. T代表对矩阵或向量的转置. 建议找本线性代数的书看看,实际上就是实对称矩阵的对角化.过程比较繁琐,...

平桥区17048238969： 求一个正交变换x=py使二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3化为标准型 - ？
之非蛋氨： 解: 二次型的矩阵 A= 2 0 0 0 3 2 0 2 3 |A-λE| = 2-λ 0 0 0 3-λ 2 0 2 3-λ = (2-λ)[(3-λ)^2-2^2] = (1-λ)(2-λ)(5-λ). 所以 A 的特征值为 1,2,5. (A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'. (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'. (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'. a...

平桥区17048238969： 求一个正交变换X=PY,化二次型f=.......(X)为标准型.已求得P,那怎么算f=........(Y)? - ？
之非蛋氨： 有P就有特征值 f 即平方项系数为特征值的标准形 注意特征值的顺序与P中特征向量的顺序要对应上

平桥区17048238969： 急急急!!!求一个正交变换x=Py, - ？
之非蛋氨： http://zhidao.baidu.com/question/311220052.html 类似的题 第一步 先找二次型的矩阵 A 本题A=2 0 0 X1²X2²X3² 的系数 2 3 3 就是对角线系数 x2x3系数4 x2x3=2a2a3=2a3a20 3 20 2 3 第二步求A特征值λ 令旦厂测断爻登诧券超猾7;A-λE/=0 ...

平桥区17048238969： 求一个正交变换x=py,使二次型f(x1,x2,x3)=2x1x1 - 4x1x2+x2x2 - 4x2x3化为标准型 - ？
之非蛋氨： 1/3 2/3 2/3 p=(2/3 1/3 -2/3) 2/3 -2/3 1/3 具体解法是用线性代数的合同矩阵变换,电脑上不方便打,有什么问题可以补充.

平桥区17048238969： 已知二次型f=x1^2+x3^2+2x1x2 - 2x2x3 (1)写出此二次型对应的矩阵A(2)求一个正交变换x=Py,将此二次型化为标准形(3)判断此二次型是否正定并说明理由.... - ？
之非蛋氨：[答案] (1) A = 1 1 0 1 0 -1 0 -1 1 (2) |A-λE| = 1-λ 1 0 1 -λ -1 0 -1 1-λ c1+c3 1-λ 1 0 0 -λ -1 1-λ -1 1-λ r3-r1 1-λ 1 0 0 -λ -1 0 -2 1-λ = (1-λ)[-λ(1-λ)-2] = (1-λ)(λ^2-λ-2) = (1-λ)(2-λ)(-1-λ). 所以 A 的特征值为 1,2,-1. (A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,0,1)^T (A-2E)X=0 的基...