已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P、M为空间任意两点,若PM=PB1+7BA+6AA1+4A1D1（都是向量），试问M点是否一定在平
解：PM→＝PB1→＋7BA→＋6AA1→＋4A1D1→
＝PB1→－AA1→＋7(BA→＋AA1→)＋4A1D1→
＝PB1→－BB1→＋7BA1→＋4A1D1→
＝PB1→＋B1B→＋7BA1→＋4A1D1→
＝PB→＋7BA1→＋4A1D1→
==PB→＋7(BP→＋PA1→)＋4(A1P→＋PD1→)
＝－6PB→＋3PA1→＋4PD1→，
由－6＋3＋4＝1，得M，B，A1，D1四点共面，
故M点在平面BA1D1内
向量PM=向量PB1+6向量AA1+7向量BA+4向量A1D1
=>向量PM+向量B1P=4(向量BA+向量AA1+向量A1D1)+2(向量BA+向量AA1)+向量BA
=>向量B1M=4向量BD1+2向量BA1+向量BA
建立空间向量坐标系
设M(X0,Y0,Z0),棱长为1
则(X0-1,Y0-1,Z0-1)=(-4,-7,6)
故M(-3,-6,7)
在面D1A1BC内。
BA=（-1，0，0），AA1=（0，0，1），A1D1=（0，1，0），则
B1M=PM-PB1=7BA+6AA1+4A1D1=（-7,4,6），
所以M=（-7,4,6）+（1,0,1）=（-6,4,7），
而平面BA1D1的方程为X+Z-1=0，
把点M的坐标代入满足条件，所以试问M点一定在平面BA1D1内。
PM=PB1+7BA+6AA1+4A1D1=PB1+BA+6BA+6AA1+4A1D1
=PB1+B1A1+6BA+6AA1+4A1D1
=PB1+B1A1+6BA1+4A1D1
=PA1+2BA1+4BA1+4A1D1
=PA1+2BA1+4BD1
BA1+BD1是平面BA1D1内的不共线向量，则2BA1+4BD1是平面BA1D1内的向量，
当点P在平面BA1D1内时，PA1+2BA1+4BD1是平面BA1D1内的向量，PM是平面BA1D1内的向量，M点在平面BA1D1内，
当点P不在平面BA1D1内时，PA1+2BA1+4BD1不是平面BA1D1内的向量，PM不是是平面BA1D1内的向量，M点不在平面BA1D1内，
PM=PB1+7BA+6AA1+4A1D1
=PB1+7B1A1+6AA1+4A1D1
=PA1+6B1A1+6AA1+4A1D1
=PA1+6BA1+4A1D1
=PA1+2BA1+4BD1
PM-PA1=2BA1+4BD1
A1M=2BA1+4BD1
因BA1, BD1是平面A1BD1内的两个相交向量，所以M必在面A1BD1内。
不是
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求AC1与直线A1D1所成角的余弦值
解析：因为AD\/\/A1D1，所以：∠DAC1就是直线AC1与直线A1D1所成角 又AD⊥平面DCC1D1，那么：AD⊥DC1 在Rt△ADC1中，令AD=a，那么：面对角线DC1=根号2*a，而体对角线AC1=根号(AD²+DC1²)=根号3*a 所以：cos∠DAC1=AD\/AC1=a\/(根号3*a)=(根号3)\/3 即直线AC1与直线A1D1...
已知正方体ABCD-A’B’C’D’,求证A’C垂直平面BC’D
连接BD,交AC于E,取AA'的中点F,连接EF.知EF\/\/A'C (中位线定理).连接DF,BF.知DF =BF.即三角形BDF为等腰三角形,而EF为底边上的中线,故EF垂直于BD.进而知:A'C垂直于BD.(1)同理:连接D'C,交C'D于G,再取A'D'的中点H,连接GH,知GH\/\/A'C.连接DH,C'H,知DH = C'H.从而知GH...
已知正方体ABCD-A'B'C'D',求直线AC’与直线A’B所成的角
解：设 正方体 的边长为a，延长DC至E，使得CE=DC，连结C'，E.则C'E‖A'B.在△AC'E中，AC'^2=3a^2，C'E^2=2a^2，AE^2=5a^2.所以：AC'^2+C'E^2=3a^2+2a^2=5a^2=AE^2，所以：△AC'E是 直角三角形 ，AE是斜边。所以A'C垂直C'E，即A'C垂直A'B。所以：直线AC'与...
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a。(
1.C1到直线B1D1做垂线C1E,垂点为E,C1E垂直于B1D1,AB1垂直于B1D1，故C1E垂直于AB1，那么C1到平面AB1D1的距离就是C1到直线B1D1的距离C1E。C1B1D1为等腰三角形，C1E等于根2*a\/2。2.A1D1垂直于平面CDD1C1，平面CDD1C1与平面AB1D1的夹角是A1D1与平面AB1D1的余角。作垂线A1F垂直与AB1，垂...
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为a,对角线AC1与面A1BD相交;(1)AC1垂直...
1、连结A1B、AB1，∵四边形ABB1A1是正方形，∴AB1⊥A1B，∵B1C1⊥平面ABB1A1，A1B∈平面ABB1A1，∴A1B⊥B1C1，∵B1C1∩AB1=B1，∴A1B⊥平面AB1C1，∵AC1∈平面AB1C1，∴A1B⊥AC1，同理可证BD⊥AC1，，∵A1B∩BD=B，∴AC1⊥平面A1BD。2、设AC1与平面A1BD交于E点，∵...
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a。用向量法证明AC⊥BD'
解：建立空间直角坐标系：以D点为坐标原点D(O), 以DA的正向为X轴，以DC的正向为Y轴，以DD'的正向为Z轴。有关点的坐标如下：D(0,0,0), A( a,0,0), B(a,a,0), C(0,a,0), D'(0,0,a).向量AC=(0,a,0)-(a,0,0)=(0-a,a-0,0-0),=(-a,a,0).向量BD'=...
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察...
①只有D1F⊥平面BCC1B1，即D1F⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE，∵过D1点于平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，∴①错误；②当点E与B1重合时，CE⊥AB，且CE⊥AD1 ，∴CE⊥平面ABD1，∵对于任意给定的点F，都有D1F?平面ABD1，∴对于...
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E,F分别是BC,A1D1的中点...
解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，易证：FHBB1为矩形，因此，FB1∥BH，且FB1=BH，．又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，∴FB1∥DE，FB1=DE，∴FB1ED为平行四边形．又∵FD=DE=a2+(a2)2=52a，∴四边形B1EDF为菱形．（2）连接AC交DE于点O，则AOOC=DOOE=ADEC=21．过O点作OM∥...
已知正方体ABCD--A'B'C'D'中,E,F分别是BD‘和AD的中点,求异面直线CD...
设正方体的边长为a,连接CD' ,取其中点为G.连接EG,DG.由中位线定理知:EG\/\/BC\/\/AD,且EG= (1\/2)*a.又:DF= (1\/2)a.即EG平行且等于DF.即四边形EFDG为平行四边形.故:EF\/\/DG.由此:DG与CD'所成的角即为CD' 与EF所成的角.易知DG为等腰直角三角形CDD1的斜边上的中线,故DG垂直于CD'...
已知正方体ABCD-A'B'C'D',求B'D与平面A'C'B所成的角的大小
设正方体边长为a，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB'为z轴，建立空间直角坐标系 BA'=(0,a,a),BC'=(a,0,a),所以面A’BC’的法向量n=（1,1，-1）又B'D=(a,a,0)所以sin<n, B'D>=根号6\/3 <n, B'D>=arcsin根号6\/3 ...
裴伊盐酸：[选项] A. π 2 B. π C. 3π 2 D. 2π
瀍河回族区19842571740： 高中数学已知正方体ABCD - A1B1C1D1中.求直线AB1与平面ABCD所成的角.判断AD1与平面A1B1CD的位置关系并证明 - ？
裴伊盐酸：[答案] 1.直线AB1与平面ABCD所成的角:45度 BB1垂直面ABCD,直线AB1与平面ABCD所成的角=角BAB1=45度 2.AD1垂直平面A1B1CD 因为正方形AA1DD1,所以AD1垂直A1D 因为A1B1垂直面AA1DD1,AD1属于面AA1DD1,所以A1B1垂直AD1 因...
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离是2√2/3的点的集合形成一条曲线,求曲线长A.√3π/3 B2√3π/3 C5√3π/6 D√3π - ？
裴伊盐酸：[答案] 2√2/3因此在正方体的表面上与点A距离是2√2/3的曲线为三个1/4弧,此弧所在圆的半径为2√2/3 故曲线长为:3*1/4*2πr=3*1/4*2π*2√2/3=√2π
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,点P是底面ABCD内一动点,P到AA1的距离等于P到AC1的距离,则P点的轨迹是 - ？
裴伊盐酸：[答案] 设点P到直线AD的距离是x,到直线AB的距离是y, 则1+x^2=(y+1)^2,所以(y+1)^2-x^2=1. P的轨迹所在曲线是等轴双曲线.
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1.则四面体C1 - A1BD在平面ABCD上的投影的面积与该四面体的表面积之比是 - ？
裴伊盐酸：[答案] 选A, 根据题意 ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四面体C1-A1BD为边长为2√2的正金字塔, ∴四面体C1-A1BD在平面ABCD上的正投影正好与正方体ABCD-A1B1C1D1的底面完全重合, 即为4. 希望对你能有所帮助.
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1,则直线AB1与平面ABC1D所成的角是 - ？
裴伊盐酸：[答案] ABC1D不是一个平面 如果是ABC1D1就能解了 连接B1C交BC1于E,连接EA. B1E⊥BC1 B1E⊥D1C1 所以B1E⊥面D1C1BA 所以角B1AE即为直线AB1与平面ABC1D1所成的角 设边长为1 在三角形B1AE中,B1E=√2/2,AB1=√2 所以角B1AE=30°
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为a,EF分别为AA1,CC1中点 求四棱锥A1 - EBFD - ？
裴伊盐酸：[答案] 以面A1EB为底,点F到面A1EB的高易知为a,三角形A1EB 面积为1/2Xa/2Xa=a^2/4 则四棱锥A1-EBF体积为1/3Xa^2/4Xa=a^3/12
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,P是AA1的中点,E是BB1上一点,如图所示,求PE+EC的最小值 - ？
裴伊盐酸：[答案] 如图,把两侧面A1ABB1-B1BCC1展开成平面图形,连接PC,与BB1交于E点,则BE=1/4. 因此PC^2=PA^2+AC^2=1/4+4=17/4,PC=√(17/4),即为PE+EC的最小值.
瀍河回族区19842571740： 如图,已知正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为AB的中点 (1)求直线B1C与DE所成角的余弦值(2)求证平面EB1D垂直平面B1CD完全不懂,求完整过程... - ？
裴伊盐酸：[答案] 取DC中点为E1,则DE//BE,而B1C在平面ABCD上的身影为BC,所以DE与B1C所成角即为E1BC,而DCB=90度,所以E1BC的余弦为BC/BE1,又E1为DC中点,所以E1C=1/2BC,所以余弦为根号5除以5
瀍河回族区19842571740： 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,那么A1到平面AB1D1的距离为 - ？
裴伊盐酸：[答案] 用等体积法,设A1到平面AB1D1的距离为h. 体积A1-AB1D1=面积A1B1D1*AA1*1/3 =面积AB1D1*h*1/3 1/2*1*1/3=√3/2*h*1/3 h=√3/3 也可以用几何法,作点A1到面的垂线.
