数学二次函数

数学二次函数的公式有哪些~

解：一般是y=ax^2+bx+C
顶点时：y=a(x-m)^2+k
坐标是：y=a(x-x1)(x-x2)
这三个表达式能够互相转换，
任何一个表达式能够哦转化为另外两个表达式。

二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：1：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)， 则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b�0�5)/4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件，通常可设一般式）
2.顶点式：y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)（若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式），顶点坐标为（-m,k）对称轴x=-m
3.交点式（与x轴）：y=a(x-x�6�9)(x-x�6�0) （若给出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的交点距离或其他一的条件，通常可设交点式）
重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数
x�6�9,x�6�0=[-b±√(b�0�5-4ac)]/2a

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有
1本身图像，旁边注名函数。
2画出对称轴，并注明X=什么
3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b*2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b*2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上 虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b�0�5/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a， 正无穷）；
②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； Δ＜0，图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0） 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≥(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
焦点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴焦点和另一个点坐标设焦点式。两焦点X值就是相应X1 X2值。

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b^2/4a) x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x�6�9，0)和B(x�6�0，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x�6�0-x�6�9| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x�6�9)(x-x�6�0)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

习题:
1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1
即：x1+ x2=8
① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，
∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
(3)x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为:(55–40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为:y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)，
∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000．
(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000， 即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

(2)证明：
由(1)知，抛物线的方程为y=x²-2x，对称轴为直线x=1
由P在抛物线上，且在对称轴的右方，设P(p,p²-2p)(p>1)，设直线OP的方程为：
y=k1x
将P的坐标代入，有：
p²-2p=k1p
解得：k1=p-2
故直线OP的方程为：
y=(p-2)x
令x=1，得y=p-2，故B点的坐标为(1,p-2)
设C的坐标为(1,c)，由B、C两点关于A(1,-1)对称，则有：
(c+p-2)/2=-1
解得：c=-p
即C点坐标为(1,-p)
设直线CP的方程为y=k2x+b，将C、P两点的坐标分别代入，得：
-p=k2+b
p²-2p=k2p+b
解得：
k2=p，b=-2p
所以，直线CP的方程为y=px-2p
令y=0，由p>1，得x=2，所以直线CP一定经过点D(2,0)
即P、C、D(2,0)三个点在同一条直线上，而点D(2,0)恰为抛物线y=x²-2x与x轴除原点之外的另一个交点，而O、D一定关于直线x=1对称，故一定有∠PCB=∠OCB
(3)当抛物线的顶点沿直线y=-x移动时，做n次平移(1≤n≤12)后，顶点坐标为Ai(1+n-1,-1-(n-1))，
即An(n,-n)，故正方形其它三点的坐标为Dn(n,0)，En(2n,0)，Fn(2n,-n)，而抛物线方程变为：y+n=(x-n)²。
假设某一点Fn正好在抛物线y+i=(x-i)²上(其中1≤i≤12，且i为整数)，则有：
-n+i=(2n-i)²
整理得：
4n²+(1-4i)n+i²-i=0
n=[(4i-1)±√(8i+1)]/8
当i=2,4,5,7,8,9,11,12时，√(8i+1)均为无理数，不符题意；

当i=1，得n=0或3/4，不符题意；
当i=3时，得n=2或3/4（舍去）；
当i=6时，得n=2或15/4（舍去）；
当i=10时，得n=6或15/4（舍去），均不符合题意。
综上所述，当n=2时，点F2(4,-2)同时在抛物线y+3=(x-3)²和y+6=(x-6)²上，此时正方形边长为2
当n=6时，点F6(12,-6)在抛物线y+10=(x-10)²上，此时正方形边长为6
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（1）由题意可知抛物线与x轴交于（0，0）和（2，0），代入原式求得y=x²-2，a=1
（2）过点A和点B分别做x轴的平行线，分别交OC与PC的延长线于点D、E和点F、G，连接BC、DE、FG
∵BC在对称轴上，∴DE⊥BC
∵BA=AC∴BC为△FCG的垂直平分线
因此∠PCB=∠OCB

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安康市19590617619： 二次函数详解 - ？
扶凤吡拉： 一般的,自变量(通常为x)和因变量(通常为y)之间存在如下关系: 二次函数的解法 二次函数的通式是 y等于 a乘以x的平方 加 b乘以x 加 c 用数学等式写出来就是 y=ax+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入 也就是说三个方程解三个未知...

安康市19590617619： 人教版初中数学二次函数概念 - ？
扶凤吡拉： 二次函数,是指未知数的最高次数为二次的多项式函数.二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0).其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线.一般,我们把如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)...

安康市19590617619： 二次函数是什么 - ？
扶凤吡拉： 先说说一元二次函数吧,二元的同理一元二次函数: 二次曲线可以是椭圆, 双曲线, 抛物线.但一般来说都是指形如 y=ax^2+bx+c (其中a不等于0)形式的函数叫做一元二次函数.1、当a>0时的性质: (1)图象开向上. (2)它的顶点坐标是[...

安康市19590617619： 有关二次函数的知识点 - ？
扶凤吡拉： 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 的结构特征: ⑴ 等号...

安康市19590617619： 二次函数总结详细 - ？
扶凤吡拉： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口...

安康市19590617619： 数学二次函数总结 - ？
扶凤吡拉： 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大(小)值 y = ax2 a>0时,开口向上;a<0抛时,开口向下. x=0 (0,0) 当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大; 当a<0时,在对称轴左...

安康市19590617619： 什么是二次函数? - ？
扶凤吡拉： 二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数,也是初中数学的主要内容之一,它在中学数学中起着承上启下的作用,它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用,是初中代数的重点和难点之一.另外,二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用.通过对二次函数的学习,使我们能进一步理解函数思想和函数方法,提高分析问题、解决问题的能力.正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键

安康市19590617619： 数学二次函数 - ？
扶凤吡拉： 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: 一般式:y=ax^2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数. 顶点式:y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子) 交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 二次函数表达式的右边通常为二次. x是自变量,y是x的二次函数 x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

安康市19590617619： 什么是二次函数啊 - ？
扶凤吡拉： 1、二次函数(quadratic function)的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0).二次函数最高次必须为二次, 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线.2、有顶点式、交点式、三点式三种表达式.3、基本图像:4、基本性质:(...

安康市19590617619： 数学里....<二次函数>是什么? - ？
扶凤吡拉： 先说说一元二次函数吧,二元的同理一元二次函数: 二次曲线可以是椭圆, 双曲线, 抛物线.但一般来说都是指形如 y=ax^2+bx+c (其中a不等于0)形式的函数叫做一元二次函数. 1、当a>...