棣莫佛定理证明有用初等数学方法证明的吗

如何用初等数学的方法证明~

如图作三条辅助线 下面的阴影面积为扇形面积adf减去三角形△adf面积：三角形的两个直角边分别是6和28^½ 可得三角形面积，算出上角的角度，即可得扇形的面积，相减之后的下面阴影部分的面积 上面阴影面积有三部

先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx

1.将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式

应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
证毕
补充说明，棣莫佛定理对于实数同样成立，只是高中教材没写
你读高中吗？如果在读高中，可能不懂泰勒级数，这是微积分的知识，等我有空再把初等数学的证法写出来

有
（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y)
令x=y=n
可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n)
令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
接下来你知道怎么办了吧？

首先，棣莫佛定理涉及复数，所以必须了解复数知识；

除此之外，有初等证明，只需要 [数学归纳法] 与 [三角函数和角公式]，过程见下图：

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上栗县13176084444： 数学归纳法证明棣莫弗公式. - ？
守将消栓：[答案] 根据两复数相乘的公式,设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x') 则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x')) 令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+... =r^k(cos kx+isinkx),也成立 ∴n∈N,Z^n=r^n(cos nx+isin nx) 或者不用数学归纳法,可以这样证明: 引入欧拉公式:e^ix = ...

上栗县13176084444： 数学归纳法证明棣莫弗公式. - ？
守将消栓： 根据两复数相乘的公式,设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x') 则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x')) 令Z=Z',得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x) 继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x) 设当n=k-1时,有Z^n=r^(k-1)(cos (k-1)x+isin(k-1)x)则n=k时 Z^n...

上栗县13176084444： 棣莫弗定理怎样对复数开平方 - ？
守将消栓： 棣莫弗定理设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则: Z1Z2=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】. 证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成...

上栗县13176084444： 关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明? - ？
守将消栓：[答案] 不成立! “cosφ+sinφ”是实数,化为三角形式为: 当cosφ+sinφ≥0时, cosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cos0+isin0) 当cosφ+sinφ<0时, cosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cosπ+isinπ) 所以,cosφ+sinφ的模是|cosφ+sinφ|,它的辐角是:0或π,而不是φ! 当cosφ+sinφ≥0时...

上栗县13176084444： 数学椩米弗定理 大概是这个名字的一个定理 - ？
守将消栓： 棣莫弗(de Moivre)定理设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].解析证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是...

上栗县13176084444： 棣莫弗定理的推广 - ？
守将消栓： 设n个复数 则: 如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式(参见《泰勒公式》,严格的证明需要复分析)放在一起看,则可以用来理解欧拉公式的意义.利用棣莫弗定理有:如果可以把所有的复数改写成指数的形式,即 则 这和指数的可加性一致.

上栗县13176084444： 棣莫弗定理的乘方 - ？
守将消栓： 在一般形式中如果令,则能导出复数乘方公式:. 对n∈Z*,采用数学归纳法证明.①当n=1时,等式明显成立 ②设当n=k时等式成立,则当n=k+1时 即当n=k+1时等式也成立 综上,对于任意正整数n,都有

上栗县13176084444： 关于棣莫弗定理 - ？
守将消栓： 不成立! “cosφ+sinφ”是实数,化为三角形式为: 当cosφ+sinφ≥0时, cosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cos0+isin0) 当cosφ+sinφcosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cosπ+isinπ) 所以,cosφ+sinφ的模是|cosφ+sinφ|,它的辐角是:0或π,而不是φ! 当cosφ+sinφ≥0时, (cosφ+sinφ)^n=|cosφ+sinφ|^n(cos0+isin0) 当cosφ+sinφ(cosφ+sinφ)^n=|cosφ+sinφ|^n(cosnπ+isinnπ)

上栗县13176084444： 法国数学家棣莫弗,A.(De Moivre,Abraham)证明了这样一个结论(也称棣莫弗定理)(cosα+isinα)n=cos(nα)+isin(nα)(这里i为虚数单位,n为正整数),... - ？
守将消栓：[答案]C07(cos π 7)7- C27(cos π 7)5(sin π 7)2+ C47(cos π 7)3(sin π 7)4- C67(cos π 7)(sin π 7)6= 1 2[(cos π 7+isin π 7)7+(cos π 7-isin π 7)7]= 1 2[(cosπ+isinπ)+(cosπ-isinπ)]=cosπ=-1, 故答案为:-1