射影定理和射影公式？

射影定理的公式是什么？~

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有
a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA
这三个式子叫做射影定理。
验证推导过程：
①CD²=AD·BD;
②AC²=AD·AB;
③BC²=BD·AB;
④AC·BC=AB·CD
证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²
∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²
∴2CD²=AB²-AD²-BD²
∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²
∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²
∴2CD²=2AD·BD
∴CD²=AD·BD
②∵CD²=AD·BD(已证)
∴CD²+AD²=AD·BD+AD²
∴AC²=AD·(BD+AD)
∴AC²=AD·AB
③BC²=CD²+BD²
BC²=AD·BD+BD²
BC²=(AD+BD)·BD
BC²=AB·BD
∴BC²=AB·BD
④∵S△ACB=
AC×BC=
AB·CD
∴ AC·BC= AB·CD
∴AC·BC=AB·CD

扩展资料：射影定理证明思路：
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。
参考资料：百度百科-射影定理

1、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

2、射影公式：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

扩展资料：

射影公式的推理过程：

① CD²=AD·BD;

② ②AC²=AD·AB;

③ ③BC²=BD·AB;

④ ④AC·BC=AB·CD

证明：

① CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD ∴CD²=AD·BD

② CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③ BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD 

∵S△ACB=AC×BC=B·CD 

∴AC·BC= AB·CD 

∴AC·BC=AB·CD

参考资料：百度百科-射影定理

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

扩展资料：

欧几里得提出的面积射影定理projective theorem射影定理的推广证明定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

在四面体A－BCD中，有。

射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

参考资料：百度百科-摄影定理

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

扩展资料

面积射影定理

 

平面多边形及其射影的面积分别是

和

 

它们所在平面所成的二面角为

证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

射影公式：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA。定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

扩展资料

任意三角形射影定理内容：

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明：

由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA。

参考资料来源：百度百科——射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC ,
(3)(AC)^2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD（可用面积来证明）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

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招池贝前： 射影定理,又称“欧几里德定理”,内容是:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.概述图中,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,则有射影定理如下: CD²=AD·BD,AC²=AD·AB,BC²=BD·AB,AC·BC=AB·CD.

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南丹县15050289327： 射影定理的内容是什么 - ？
招池贝前： 直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理内容是直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 公式表达为:如右图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下:①CD²;=AD·DB,②BC²=BD·BA , ③AC²=AD·AB ; ④AC·BC=AB·CD(等积式,可用面积来证明)

南丹县15050289327： 射影定理是怎么回事? - ？
招池贝前： 一、直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.二、任意三角形射影定理(又称“第一余弦定理”):三角形的任一边等于其他两边在该边上的射影之和或之差.即在△ABC中,若AD为BC边上的高时,则BC=ACcosC±ABcosB .

南丹县15050289327： 向量射影定理公式 ？
招池贝前： 向量射影定理公式是|a|cosθ=(a·b)/|b|,射影定理,又称“欧几里德定理”,在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量.

南丹县15050289327： 请问射影定理是什么?怎样理解? - ？
招池贝前： 简单点说 可以用三角形相似来证明 在△BAD与△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90° ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即BD²=AD·DC.其余同理可得可证[1] 有射影定理如...

南丹县15050289327： 什么是射影定理？
招池贝前： 假设直角三角形ABC, 直角边AB, BC 长度分别为a,b,斜边AC长为c. 那么三者有这样的关系 a的平方+b的平方=c的平方

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招池贝前： 所谓射影,就是正投影. 其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线...