穿根法具体例题
例如导数是y’=(x-3)^2(x+1)
那么它有两个根分别是3,-1
在坐标轴标出来,然后从右上角开始画曲线。因为x=3是二重根,所以不穿过(奇过偶不过)
-1是单根所以就穿过了。
从图形可看出,当x>-1时,这时图象在x轴上方,也就是导数大于0,原函数在这区间就单调递增
当x<-1时,导数图象在x轴下方,导数小于0,原函数在x<-1时就单调递减。
用法么,只要在穿根之前保证最高次的那个系数是正的就行了。
比如说一个不等式-x^2+3x-2>0,这时还不能用穿根法,因为最高次x^2的系数小于零,所以要首先不等号两边同乘以-1,把最高次X^2前面的系数变成正的才行,这样就变成了x^2-3x+2<0 ,(x-1)(x-2)<0,1<x<2.
所谓奇穿偶不穿,其中的奇偶指的是你分解因式以后每个因子的指数的奇偶性,如果是奇数就要穿过数轴,偶数就不用穿过数轴,这个还是举个例子比较好:
比如说一个不等式,你已经把它因式分解成了如下形式:
x(x-1)^2(x-3)^3>0
最高次x^6的系数已经是正的了,所以可以开始穿根了,穿根的基本方法想必你已经了解了,我就直接开始讲了。
标出三个点0,1,3,开始从右上角穿,首先是3,因为(x-3)这个因子的指数是3,是个奇数,所以需要穿过数轴。继续,碰到1了,因为(x-1)这个因子的指数是2,是个偶数,所以不需要穿过数轴。继续,碰到0了,因为x这个因子的指数是1,是奇数,所以需要穿过数轴,这样就穿完了。因为不等号是大于,所以取数轴上方的部分,就是x<0或x>3
给你做个小练习吧:(x+2)^5(x+3)^2(x-1)<0
解解看吧,答案是-2<x<1
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0,并分解因式。(注意:一定要保证x项最高项系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1<x<1或x>2。
穿根前应注意,每项X系数均为正,否则应先则提取负号,改变相应不等号方向,再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0,要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0,再穿根。
扩展资料
奇过偶不过定律
穿根法的奇过偶不过定律:就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。还有一种情况就是例如:(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。
但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过,偶弹回”或“自上而下,从右到左,奇次根一穿而过,偶次根一穿不过”。
不等式基本性质的理论基础
1.高次不等式求解
第一步:分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。
第二步:化最高次项系数为正或者为1。
第三步:穿线法——奇穿偶不穿,正负看区间。
2.分式不等式求解
第一步,先移项把不等式的右边化为0,左边是分式。
第二步,再通分,对左边的分式进行通分。
第三步,对分子分母同时进行因式分解。
第四步,化最高次项系数为正或者为1。
第五步,通过穿线法求得不等式的解集,找解验分母。
注:不能忘掉分母不能为0的限制。
参考资料
百度百科-穿根法
数轴穿根法,又称“数轴标根法”,是一种数学算法。
步骤
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0,并分解因式。(注意:一定要保证x前的系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内的范围。
实例
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1<x<1或x>2。
穿根前应注意,每项X系数均为正,否则应先则提取负号,改变相应不等号方向,再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0,要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0,再穿根。
穿根法的奇过偶不过定律:就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时,如(x^2)或(x^4)时,穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项,就要穿过0点了。还有一种情况就是例如:(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时,线是不穿过1点的。但是对于如(X-1)^3的式子,穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过,偶弹回”或“自上而下,从右到左,奇次跟一穿而过,偶次跟一穿不过”。
还有关于分号的问题:当不等式移项后,可能是分式,同样是可以用穿根法的,直接把分号下面的乘上来,变成乘法式子。继续用穿根法,但是注意,解不能让原来分式下面的式子等于0
典型事例:
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0,并分解因式。(注意:一定要保证x前的系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根。
第四步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿跟线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿跟线以内的范围。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿跟线以内的范围。即:-1<x<1或x>2。
奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要按照两个数字穿~~~如(x-1)^2=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。
用试根法因式分解4x^3+8x^2-15x-9
(1) 4x^3+8x^2-15x-9 = 4x^3+2x^2+6x^2-15x-9 = 2x^2(2x+1)+3(2x^2-5x-3)= 2x^2(2x+1)+3(x-3)(2x+1)= (2x^2+3x-9)(2x+1)= (2x-3)(x+3)(2x+1)(2) 仍然还在思考中 和第一个题目的解法差不多 加上一个x^2减去一个x^2给后面十字相乘 然后前面在...
...则运算法则和因式分解的技巧,最好有几道基本例题的
8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=...
二次根式定义,性质,公式,法则
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数学穿根法“奇过偶不过”的问题给个相应例题~!
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根号分式化简方法
要掌握根号的基本性质:了解根号的定义、性质和运算规则,包括平方根、立方根等。熟悉分式的基本操作:掌握分子分母的因式分解、合并同类项、有理化等基本操作,这对于化简根号分式非常重要。要学习根号分式的化简方法:学习根号分式的化简策略和技巧,包括合并同类项、提取公因子、有理化等步骤。多练习相关的例...
穿根法中“奇穿偶不穿”解释下
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高中数学中的“穿根法”怎么穿?
标根法”或“标根穿线法”最常用得口诀:奇穿偶回 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为正数)例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1
蓬邹确复:[答案] 1.将方程变形为(x+a)(x+b)…(x+n)的形式2.将所得的高次方程的根标在坐标轴上,从最左端或最右端取一个值代入方程,判断其值在x轴上还是下,一次一上一下将根依次穿起
广宗县13471652642: 数学中的穿根法具体是怎样? - ?
蓬邹确复:[答案] 画一条数轴 先判断负无穷时的函数值,如果为正就从上往下穿,如果为负就从下往上穿; 将该函数的各个零点从小到大依次排列; 然后穿根:奇穿过偶弹回(单根、三根等就穿过数轴,二重根等就不穿过数轴); 最后判断各区间函数值的正负 例:...
广宗县13471652642: 用穿根法解不等式4x+3/2x - 1 - ?
蓬邹确复:[答案] (4x+3)/(2x-1)≤0 (4x+3)(2x-1)≤0且2x-1≠0 如图穿根法得 -3/4≤x<1/2
广宗县13471652642: 穿根法中“奇穿偶不穿”解释下只需要解释下这句话,最好能附带例题,越详细越好,注:若你只会复制粘贴,请点击右上角的红叉叉 - ?
蓬邹确复:[答案] 首先,最高此项是正的才可以. 第二步整理式子. 最后画数轴标根穿线了. 奇穿指的是式子的次数是奇数的时候根传过去,偶不穿是说偶次的时候就过去了~ 例如: f(x)=x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2 随便写了个式子,先整理正最后那样,在数轴上...
广宗县13471652642: 不等式 “穿针引线” 怎么穿?(最好有例题) - ?
蓬邹确复: 穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.(注意:一定要保证x前的系数为正数) 例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步:将不等号换成等号...
广宗县13471652642: 关于高中数学的穿根法能不能详细解释一下,举例讲解 - ?
蓬邹确复:[答案] 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0,并分解因式.(注意:一定要保证x前的系数为正数) 例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步:将不等号换成等号解出所有根.例如...
广宗县13471652642: 如何用穿根法解题关于奇过偶不过 解不等式 (2x - 1)(x+1)(x+3)(x - 1)≥0 怎么个奇过偶不过 - ?
蓬邹确复:[答案] 你可能理解错奇过偶不过的意思了,它是指的因式的指数,比如(x+1)(x+2)(x+2),这里(x+2)平方就是偶,当用穿根法时不需要穿过…穿根法的方法是从最右边的那个零点上方开始穿,根据奇过偶不过的原则穿过所有零点,不知道这样...
广宗县13471652642: 什么是“穿根法”?说了定义后再举个例子看看. - ?
蓬邹确复: 将方程的根标在数轴上,从右往左,遵循“奇过偶不过”,奇偶是指根的次数,比如 x^3=27,x=3就是奇次根,过是指过数轴.奇次根就穿过数轴,反之,不过.数轴以下的是小于0的区域,数轴以上的区域是大于0的区域.
广宗县13471652642: 怎么使用穿根法 比如(x - 1)(x - 2)(x - 3) - ?
蓬邹确复:[答案] 先画一数轴 在数轴上标出能使(x-1)(x-2)(x-3)=0等式成立的点 即1 2 3 如图 因为当你X取无穷小时 y=(x-1)(x-2)(x-3) 的值为负的 故曲线的左...
广宗县13471652642: (x 1)2(x 2)(x - 3)3>0用数轴穿根法解 - ?
蓬邹确复: 穿根法需要注意: 1,从所有因式等于0结果最大的开始,数轴上是从右边开始. 2,奇数次方,直接穿进,偶数次方,遇点退回. (x+1)²(x+2)(x-3)³>0, 有三个点-1、-2、3,所以所有因式都大于0时,x>3,从3开始. 所以解集是{x|x3}