穿根法具体例题

如何在导数中用穿根法求对数函数的单调区间？就具体详细试题及过程~

例如导数是y’=（x-3)^2(x+1)
那么它有两个根分别是3，-1
在坐标轴标出来，然后从右上角开始画曲线。因为x=3是二重根，所以不穿过（奇过偶不过）
-1是单根所以就穿过了。
从图形可看出，当x>-1时，这时图象在x轴上方，也就是导数大于0，原函数在这区间就单调递增
当x<-1时，导数图象在x轴下方，导数小于0，原函数在x<-1时就单调递减。

用法么，只要在穿根之前保证最高次的那个系数是正的就行了。
比如说一个不等式-x^2+3x-2>0,这时还不能用穿根法，因为最高次x^2的系数小于零，所以要首先不等号两边同乘以-1，把最高次X^2前面的系数变成正的才行，这样就变成了x^2-3x+2<0 ,(x-1)(x-2)<0,1<x<2.

所谓奇穿偶不穿，其中的奇偶指的是你分解因式以后每个因子的指数的奇偶性，如果是奇数就要穿过数轴，偶数就不用穿过数轴，这个还是举个例子比较好：
比如说一个不等式，你已经把它因式分解成了如下形式：
x(x-1)^2(x-3)^3>0
最高次x^6的系数已经是正的了，所以可以开始穿根了，穿根的基本方法想必你已经了解了，我就直接开始讲了。
标出三个点0，1，3，开始从右上角穿，首先是3，因为(x-3)这个因子的指数是3，是个奇数，所以需要穿过数轴。继续，碰到1了，因为(x-1)这个因子的指数是2，是个偶数，所以不需要穿过数轴。继续，碰到0了，因为x这个因子的指数是1，是奇数，所以需要穿过数轴，这样就穿完了。因为不等号是大于，所以取数轴上方的部分，就是x＜0或x>3

给你做个小练习吧：(x+2)^5(x+3)^2(x-1)<0
解解看吧，答案是-2<x<1

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x项最高项系数为正数）

例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2

第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。

穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。

扩展资料

奇过偶不过定律

穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。

但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过”。

不等式基本性质的理论基础

1.高次不等式求解

第一步：分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。

第二步：化最高次项系数为正或者为1。

第三步：穿线法——奇穿偶不穿，正负看区间。

2.分式不等式求解

第一步，先移项把不等式的右边化为0，左边是分式。

第二步，再通分，对左边的分式进行通分。

第三步，对分子分母同时进行因式分解。

第四步，化最高次项系数为正或者为1。

第五步，通过穿线法求得不等式的解集，找解验分母。

注：不能忘掉分母不能为0的限制。

参考资料

百度百科-穿根法

数轴穿根法，又称“数轴标根法”，是一种数学算法。

步骤

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数）

例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2

第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

实例

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。

穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。

穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”。

还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0

典型事例：

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。（注意：一定要保证x前的系数为正数）

例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2

第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。

奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字 这个数字要按照两个数字穿~~~如（x-1)^2=0 两个解都是1 那么穿的时候不要透过1。

---

广宗县13471652642： 求穿根法解高次方程的具体步骤,越具体越好,最好有例子, - ？
蓬邹确复：[答案] 1.将方程变形为(x+a)(x+b)…(x+n)的形式2.将所得的高次方程的根标在坐标轴上,从最左端或最右端取一个值代入方程,判断其值在x轴上还是下,一次一上一下将根依次穿起

广宗县13471652642： 数学中的穿根法具体是怎样? - ？
蓬邹确复：[答案] 画一条数轴 先判断负无穷时的函数值,如果为正就从上往下穿,如果为负就从下往上穿; 将该函数的各个零点从小到大依次排列; 然后穿根:奇穿过偶弹回(单根、三根等就穿过数轴,二重根等就不穿过数轴); 最后判断各区间函数值的正负 例:...

广宗县13471652642： 用穿根法解不等式4x+3/2x - 1 - ？
蓬邹确复：[答案] (4x+3)/(2x-1)≤0 (4x+3)(2x-1)≤0且2x-1≠0 如图穿根法得 -3/4≤x<1/2

广宗县13471652642： 穿根法中“奇穿偶不穿”解释下只需要解释下这句话,最好能附带例题,越详细越好,注:若你只会复制粘贴,请点击右上角的红叉叉 - ？
蓬邹确复：[答案] 首先,最高此项是正的才可以. 第二步整理式子. 最后画数轴标根穿线了. 奇穿指的是式子的次数是奇数的时候根传过去,偶不穿是说偶次的时候就过去了~ 例如: f(x)=x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2 随便写了个式子,先整理正最后那样,在数轴上...

广宗县13471652642： 不等式 “穿针引线” 怎么穿?(最好有例题) - ？
蓬邹确复： 穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.(注意:一定要保证x前的系数为正数) 例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步:将不等号换成等号...

广宗县13471652642： 关于高中数学的穿根法能不能详细解释一下,举例讲解 - ？
蓬邹确复：[答案] 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0,并分解因式.(注意:一定要保证x前的系数为正数) 例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步:将不等号换成等号解出所有根.例如...

广宗县13471652642： 如何用穿根法解题关于奇过偶不过 解不等式 (2x - 1)(x+1)(x+3)(x - 1)≥0 怎么个奇过偶不过 - ？
蓬邹确复：[答案] 你可能理解错奇过偶不过的意思了,它是指的因式的指数,比如(x+1)(x+2)(x+2),这里(x+2)平方就是偶,当用穿根法时不需要穿过…穿根法的方法是从最右边的那个零点上方开始穿,根据奇过偶不过的原则穿过所有零点,不知道这样...

广宗县13471652642： 什么是“穿根法”?说了定义后再举个例子看看. - ？
蓬邹确复： 将方程的根标在数轴上,从右往左,遵循“奇过偶不过”,奇偶是指根的次数,比如 x^3=27,x=3就是奇次根,过是指过数轴.奇次根就穿过数轴,反之,不过.数轴以下的是小于0的区域,数轴以上的区域是大于0的区域.

广宗县13471652642： 怎么使用穿根法 比如(x - 1)(x - 2)(x - 3) - ？
蓬邹确复：[答案] 先画一数轴 在数轴上标出能使(x-1)(x-2)(x-3)=0等式成立的点 即1 2 3 如图 因为当你X取无穷小时 y=(x-1)(x-2)(x-3) 的值为负的 故曲线的左...

广宗县13471652642： (x 1)2(x 2)(x - 3)3>0用数轴穿根法解 - ？
蓬邹确复： 穿根法需要注意: 1,从所有因式等于0结果最大的开始,数轴上是从右边开始. 2,奇数次方,直接穿进,偶数次方,遇点退回. (x+1)²(x+2)(x-3)³>0, 有三个点-1、-2、3,所以所有因式都大于0时,x>3,从3开始. 所以解集是{x|x3}