特征值 历史
矩阵的特征值与特征向量问题 物理、力学和工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题.计算方阵A的特征值，就是求特征方程 即 的根.求出特征值 后，再求相应的齐次线性方程组 的非零解,即是对应于 的特征向量.这对于阶数较小的矩阵是可以的,但对于阶数较大的矩阵来说,求解是十分困难,所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的. 我们知道,如果矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值.因此人们就希望在相似变换下,把A化为最简单的形式.一般矩阵的最简单的形式是约当标准形.由于在一般情况下,用相似变换把矩阵A化为约当标准形是很困难的,于是人们就设法对矩阵A依次进行相似变换,使其逐步趋向于一个约当标准形,从而求出A的特征值. 本章介绍求部分特征值和特征向量的幂法,反幂法;求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的QR方法. 第一节幂法与反幂法 一幂法 幂法是一种求任意矩阵A的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法.该方法最大的优点是计算简单,容易在计算机上实现,对稀疏矩阵较为合适,但有时收敛速度很慢. 为了讨论简单,我们假设 (1)n阶方阵A的特征值 按模的大小排列为 (1) (2) 是对应于特征值 的特征向量 ; (3) 线性无关. 任取一个非零的初始向量 ,由矩阵A构造一个向量序列 (2) 称为迭代向量.由于 线性无关，构成n维向量空间的一组基,所以,初始向量 可唯一表示成 (3) 于是 (4) 因为比值 所以 (5) 当k充分大时有 (6) 从而 (7) 这说明当k充分大时,两个相邻迭代向量 与 近似地相差一个倍数,这个倍数便是矩阵A的按模最大的特征值 .若用 表示向量 的第 个分量,则 (8) 也就是说两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵A的按模最大的特征值. 因为,又 ,所以有 ,因此向量 可近似地作为对应于 的特征向量. 这种由已知的非零向量 和矩阵A的乘幂构造向量序列 以计算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法称为幂法. 由(4)式知,幂法的收敛速度取决于比值 的大小.比值越小,收敛越快,但当比值 接近于1时,收敛十分缓慢. 用幂法进行计算时,如果 ,则迭代向量 的各个不为零的分量将随着k无限增大而趋于无穷.反之,如果 ,则 的各分量将趋于零.这样在有限字长的计算机上计算时就可能溢出停机.为了避免这一点,在计算过程中，常采用把每步迭代的向量 进行规范化,即用 乘以一个常数,使得其分量的模最大为1.这样，迭代公式变为 (9) 其中 是 模最大的第一个分量.相应地取 (10) 例1 设 用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量(精确到小数点后三位)。 解 取 ,计算结果如表4-1所示。 表4-1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 -2 2 2 1 -1 1 3 3 -4 3 -4 -0.75 1 -0.75 4 -2.5 3.5 -2.5 3.5 -0.714 1 -0.714 5 -2.428 3.428 -2.428 3.428 -0.708 1 -0.708 6 -2.416 3.416 -2.416 3.416 -0.707 1 -0.707 7 -2.414 3.414 -2.414 3.414 -0.707 1 -0.707 当k=7时, 已经稳定,于是得到 及其相应的特征向量 为 应用幂法时,应注意以下两点: (1)应用幂法时,困难在于事先不知道特征值是否满足(1)式，以及方阵A是否有n个线性无关的特征向量.克服上述困难的方法是：先用幂法进行计算,在计算过程中检查是否出现了预期的结果.如果出现了预期的结果,就得到特征值及其相应特征向量的近似值;否则,只能用其它方法来求特征值及其相应的特征向量. (2)如果初始向量 选择不当,将导致公式(3)中 的系数 等于零.但是，由于舍入误差的影响,经若干步迭代后, .按照基向量 展开时, 的系数可能不等于零。把这一向量 看作初始向量，用幂法继续求向量序列 ,仍然会得出预期的结果,不过收敛速度较慢.如果收敛很慢,可改换初始向量. 二 原点平移法 由前面讨论知道,幂法的收敛速度取决于比值 的大小.当比值接近于1时,收敛可能很慢.这时,一个补救的方法是采用原点平移法. 设矩阵 (11) 其中p为要选择的常数. 我们知道 与 除了对角线元素外,其它元素都相同,而A的特征值 与 的特征 之间有关系 ,并且相应的特征向量相同.这样,要计算 的按模最大的特征值，就是适当选择参数 ,使得 仍然是 的按模最大的特征值,且使 对 应用幂法，使得在计算 的按模最大的特征值 的过程中得到加速,这种方法称为原点平移法. 例2 设4阶方阵A有特征值 比值,令 作变换 则 的特征值为 应用幂法计算 的按模最大的特征值 时，确定收敛速度的比值为 所以对B应用幂法时，可使幂法得到加速。 虽然选择适当的p值，可以使得幂法得到加速，但由于矩阵的特征值的分布情况事先并不知道，所以在计算时，用原点平移法有一定的困难. 下面考虑当 的特征值为实数时,如何选择参数 ，以使得用幂法计算 时得到加速的方法. 设 的特征值满足 则对于任意实数 , 的按模最大的特征值 或。 如果需要计算 及时，应选择 使 且确定的收敛速度的比值 当,即时, 为最小.这时用幂法计算 及 时得到加速. 如果需要计算 及时，应选择 使 且确定收敛速度的比值 当即时, 为最小.这时用幂法计算 及 时得到加速. 原点平移的加速方法,是一种矩阵变换方法.这种变换容易计算,又不破坏A的稀疏性，但参数p的选择依赖于对A的特征值的分布有大致了解. 三反幂法 反幂法用于求矩阵A的按模最小的特征值和对应的特征向量,及其求对应于一个给定的近似特征值的特征向量. 设n阶方阵A的特征值按模的大小排列为 相应的特征向量为 .则 的特征值为 对应的特征向量仍然为 .因此,计算矩阵A的按模最小的特征值,就是计算 的按模最大的特征值.这种把幂法用到 上,就是反幂法的基本思想. 任取一个非零的初始向量 ,由矩阵 构造向量序列 (12) 用(12)式计算向量序列 时，首先要计算逆矩阵 .由于计算 时，一方面计算麻烦，另一方面当A为稀疏阵时, 不一定是稀疏阵,所以利用 进行计算会造成困难.在实际计算时,常采用解线性方程组的方法求 .（12）式等价于 (13) 为了防止溢出，计算公式为 (14) 相应地取 (15) (13)式中方程组有相同的系数矩阵A，为了节省工作量,可先对矩阵A进行三角分解 (16) 再解三角形方程组 (17) 当A是三对角方阵,或是非零元素较少且分布规律的方阵时,无论存储或计算都比较便.根据幂法的讨论,我们知道,在一定条件下,可求得 的按模最大的特征值和相应的特征向量,从而得到A的按模最小的特征值和对应的特征向量,称这种方法为反幂法.反幂法也是一种迭代算法,每一步都要解一个系数矩阵相同的线性方程组. 设p为任一实数,如果矩阵 可逆,则 的特征值为 对应的特征向量仍为 . 如果p是矩阵A的特征值 的一个近似值,且 则是矩阵 的按模最大的特征值.因此,当给出特征值 的一个近似值p时,可对矩阵 应用反幂法，求出对应于 的特征向量.反幂法迭代公式中的 通过方程组 求得. 例3 用反幂法求矩阵 的对应于特征值 的特征向量. 解取 解方程组 得 再解方程组 得 与 的对应分量大体上成比例,所以对应于 的特征向量为
矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则 。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词 。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的 。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具 。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
[编辑本段]线性代数的发展
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。
[编辑本段]线性代数的地位
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
[编辑本段]线性代数基本介绍
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。
[编辑本段]一些有用的定理
·每一个线性空间都有一个基。
·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。
·一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
·一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
·一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
·一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
[编辑本段]一般化和相关主题
线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。
·模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
·多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。
·在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。
所有这些领域都有非常大的技术难点。
[编辑本段]我国大学线性代数基本内容
一、课程的性质与任务
线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：
1、行列式
2、矩阵
3、向量组的相关性、矩阵的秩
4、线性方程组
5、相似矩阵与二次型
等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。
二、课程的教学内容、基本要求及学时分配
（一）教学内容
1、行列式
（1） n 阶行列式的定义
（2）行列式的性质
（3）行列式的计算，按行（列）展开
（4）解线性方程组的克莱姆法则
2、矩阵
（1）矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵
（2）矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律
（3）逆矩阵概念及其性质，用伴随矩阵求逆矩阵
（4）分块矩阵的运算
3、向量
（1）n 维向量的概念
（2）向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别
（3）向量组的最大无关组、向量组的秩
（4）矩阵的秩的概念
（5）矩阵的初等变换，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵
（6）n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标
4、线性方程组
（1）齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件
（2）线性方程组的基础解系、通解及解的结构
（3）非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法
（4）用初等行变换求线性方程组的通解
5、相似矩阵与二次型
（1）矩阵的特征值与特征向量及其求法
（2）相似矩阵及其性质
（3）矩阵对角化的充要条件及其方法
（4）实对称矩阵的相似对角矩阵
（5）二次型及其矩阵表示
（6）线性无关的向量组正交规范化的方法
（7）正交变换与正交矩阵的概念及性质
（8）用正交变换化二次型为标准形
（9）用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形
（10）惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别
（二）基本要求
1、理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式
2、熟练掌握行列式的基本计算方法和性质
3、熟练掌握克莱姆法则
4、理解矩阵的定义
5、熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法
6、理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性
7、掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系
8、理解向量空间的概念，会求向量的坐标
9、熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组
10、熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用
11、熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法
12、掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念
13、熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法
14、理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和
15、掌握二次型正定性概念及应用
MATLAB
本身是一种编程语言，可作为工科线性代数的教学软件，为国内外许多大学教材所引进。
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作者：杨芝馨
出版社：高等教育出版社
装帧：平装
ISBN：9787040069877
类别：教育/科技
标价：￥9.60
简介：
本书第三版仍由同济大学数学教研室骆承钦教授承担修订工作。这次修订，在第1章增加了二阶与三阶行列式；第2章增加了少量关于矩阵及其运算的实际背景的内容；第3、4两章的理论体系作了彻底更换。新的第3章先引进矩阵的初等变换和秩的概念，然后解决了线性方程组的求解问题。新的第4章讨论向量组的线性相关性，由于有了矩阵和线性方程组的理论，致使这一讨论大为简化。第5、6两章也不同程度地对定理的表述和论证有所加强，对便题、习题有所增加或修改，使本教材更接近于基本要求，更适宜于教学。
本书内容为：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换等六章，书末附有习题答案。本书可供高等工业院校各专业使用，也可供科技工作者阅读.
呵呵，我是不知道的！我过来看看有没有酱油哈！
圣宙核糖：[答案] 线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的... ·一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构. ·一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零. ·一...
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圣宙核糖： 特征值就是把矩阵代表的线性变换转化为数值变换.与特征值对应的特征向量是关键.本来研究一个复杂的矩阵性质,就可以转化为研究特征向量的特点.从而简化分析. 物理上力的分解或者其他物理特征的分解都可以用到特征值和特征向量. 实际生活中所以能够以矩阵形态抽象概括的事物,都可以采用特征值和特征向量来简化分析,研究事物的内在特征.
