矩阵正定性的性质和判别
矩阵正定性的性质：
1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
正定矩阵的判别方法：
1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU
4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。
扩展资料：
广义的正定矩阵判断：
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
狭义正定矩阵判断：
一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
参考资料来源：百度百科-正定矩阵
如何判断矩阵是否是正定阵?
3.为了叙述方便，记。容易知道，特征值对角阵是正定阵必须要求所有特征值为正，半正定则要求所有特征值非负。关键在于正定性定义中具有任意性。4.假若存在某个特征值，显然可以构造（第i位是1），则，则违背了正定性定义。由反证法容易知道【结论二，也就是正定性和特征值关系】正定必须所有特征值为正...
如何用线性代数的知识来解释“正定矩阵”?
使A=B′B，等价于存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。正定矩阵有以下性质：1、正定矩阵的行列式恒为正；2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
正定矩阵的性质有哪些
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半...
正定矩阵的判定?
【答案】：因为AB=BA则(AB)=B'A'=BA=AB即BA为实对称的．其次由于AB都是正定的故存在实可矩逆矩阵PQ使A=P'PB=Q'Q于是AB=P'PQ'Q与QP'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1相似从而两者都有相同的特征根．但是QP'PQ'=(PQ')'(PQ')为正定矩阵其特征根都是正实数故AB的特征根都是正实数从而...
正定矩阵的几个重要性质
4. 关于矩阵变换，如果C是可逆的，A是对称且正定的，那么C'AC的正定性与A的正定性直接相关，两者是等价的。5. 正定矩阵的对角化表明，通过正交阵O，A可以表示为对角矩阵的平方，这进一步证明了正定矩阵的唯一性。总之，正定矩阵的这些性质揭示了它们在矩阵运算和相似变换中的特殊地位，是矩阵理论中不...
正定矩阵为什么特征值大于零
正定矩阵的特征值大于零，这是由矩阵的定义和性质决定的。首先，正定矩阵必须满足对称性，即矩阵与其转置相等，记为 A = A^T。其次，正定矩阵具有正定性，这意味着对于任意非零向量 x，矩阵与向量的点积 x^T A x 总是大于零。这个性质保证了矩阵的所有特征值都是正数。具体来说，如果 λ 是矩阵 ...
什么是矩阵A的正定性?
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;所以A+B也是正定的！只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。在实数范围内：A为n阶的正定矩阵，则A的n个...
正定且正交矩阵有哪些重要的数学性质?
并且对于正定矩阵来说，Frobenius范数就是其行列式的平方根。总之，正定且正交矩阵具有许多重要的数学性质，包括正定性、正交性、行列式和迹的关系、特征值的性质、逆矩阵的性质、秩的性质以及范数的性质等。这些性质使得正定且正交矩阵在数学和工程领域中具有广泛的应用。
什么是正定矩阵
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B...
什么是正定矩阵?
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为...
俎侮多磺： 设实对称矩阵A,如果对于任意的实非零向量x≠0有x^TAx>0,则矩阵A称为正定的.正定矩阵的性质与判别方法1. 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数.2.对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E.3.对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4.对称矩阵A正定,则A的主对角线元素均为正数.5.对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零.
沁阳市15544497164： 正定矩阵的性质有哪些 - ？
俎侮多磺： 一. 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定(半正定)二次型. 相应的,正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵...
沁阳市15544497164： 正定二次型是什么?怎样判定一个二次型是正定的? - ？
俎侮多磺：[答案] 定义:设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)>0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵. 正定二次型的判别方法: a):二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定; b):二次型的对称矩阵A的n个特...
沁阳市15544497164： 什么事正定矩阵?正定矩阵的性质有哪些?如果A是正定矩阵,那么a[i][i]一定大于0吗? - ？
俎侮多磺：[答案] 对于对称矩阵A,若对任意非零向量x,都有x*AX>0成立,则称A为正定. 如果A是正定矩阵,那么a[i][i]一定大于0.因为,a[i][i]=ei*Aei>0. 其中,ei为第i个单位向量.
沁阳市15544497164： 矩阵的正定性怎么判断 - ？
俎侮多磺： 其顺序主子式大于0.所有特征值大于0也能判断其正定,而且是对称正定(充要条件).
沁阳市15544497164： 正定性判断 - ？
俎侮多磺： 定义如下 设M是n阶实系数对称矩阵, 如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0,就称M正定(Positive Definite).正定矩阵在相合变换下可化为标准型, 即单位矩阵.所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵.另一种定义:一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
沁阳市15544497164： 怎么用matlab判断矩阵的正定性 - ？
俎侮多磺： eig(a)求出矩阵的特征值.所有特征值大于0,即为正定矩阵.
沁阳市15544497164： 给出一个行列式,如何判定它的正定性 - ？
俎侮多磺： 你好!一个行列式结果是一个数,没有正定性的说法.只有对称矩阵才可以讨论正定性,对称阵正定的充分必要条件是所有的顺序主子式都为正.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!
沁阳市15544497164： 证明证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数 - ？
俎侮多磺： 这个问题首先要知道什么是正定阵,以及实对称矩阵的性质.第一正定阵定义:A正定,就是任意非零列向量x,x'Ax>0[这里注意x'Ax按照矩阵乘法后是一个数,既不是矩阵也不是向量] 第二谱分解定理:实对称矩阵A,存在正交矩阵P,使得 P'AP...
