能解释一下平均值不等式吗？ 我大四了高中知识记不清了

请问有谁能解释一下均值不等式的证明吗~

你需要了解数学归纳法。
假设k时命题成立。
第一个等式是关键的技巧，因为我们需要证明k+1时命题成立，通过加减同一个东西，凑出两个k时的命题。这个等号成立不是问题，怎么想出来的需要经验，建议你暂时不必纠结。
第一个不等号处，看分子第一项是前面的式子中前k项应用了均值不等式，第二项也是，但是稍微晦涩一点，注意到把上面的(k-1)看成k-1个东西的和，所以一样是k项的均值不等式
第二个不等号处，用了k=2时的均值不等式，注意每个ai的次数，根式里面是 1+(k-1)/(k+1)=2k/(k+1)，然后外面k次方根、平方根，就得到这个结果。
所以整体上这个归纳法需要至少证明k=2

a3+b3+c3>=3abc 只要证明2（a3+b3+c3）>=6abc 即可。2（a3+b3+c3）= (a^3+b^3) + (b^3+c^3) + (c^3+a^3)= (a+b) (a^2-ab+b^2) +(b+c)(b^2-bc+c^2) +(c+a)(c^2-ca+a^2) （因为a^2+b^2≥2ab）≥(a+b)(ab) +(b+c)(bc) +(c+a)(ca)=a^2 *b+a*b^2+b^2*c+b*c^2+c^2*a+c*a^2 = (a^2*b+bc^2) +(a*b^2+c^2*a)+(b^2*c+c*a^2)=(a^2+c^2)b +(b^2+c^2)a+(b^2+a^2)c (因为a^2+c^2≥2ac，后面的同样）≥2abc+2abc+2abc=6abc

均值不等式

百科名片

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

目录

均值不等式的简介
均值不等式的变形
均值不等式的证明
均值不等式的应用
其他不等式
重要不等式 - 1.柯西不等式
重要不等式 - 2.排序不等式
重要不等式 - 3.切比雪夫不等式
展开
编辑本段
均值不等式的简介

概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
则有：当r 注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√〔(a^2+b^2)/2〕
编辑本段
均值不等式的变形

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
编辑本段
均值不等式的证明

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则
k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，
{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理
＝(s／k)^k* a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
编辑本段
均值不等式的应用

例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16
编辑本段
其他不等式

琴生不等式
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
贝努利不等式
柯西不等式
切比雪夫不等式
外森比克不等式
排序不等式
编辑本段
重要不等式 - 1.柯西不等式

柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
（2）用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．
编辑本段
重要不等式 - 2.排序不等式

排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
编辑本段
重要不等式 - 3.切比雪夫不等式

切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi)
编辑本段
重要不等式 - 4.琴生不等式

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
编辑本段
重要不等式 - 5.均值不等式

a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍)
当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab
编辑本段
重要不等式 - 6.完全的均值不等式

√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数，
M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB‖CD，记AB=b，CD=a。 EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位线，那么
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形，那么
E3F3=√(ab)。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么
E4F4=2/(1/a+1/b)。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。
编辑本段
重要不等式 - 7.幂平均不等式

幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
特例：
- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）

均值不等式
几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=an时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a2+b2³2ab (2)对正实数a,b有

(3)对b>0，有， (4)对ab2>0有，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a2³2ab-b2

(9) 对实数a，b及l¹0，有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取

代入(9)得有

两边平方得

法二、，即二次式不等式恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1)

(2)

证明：(1)左=[]

=

³

(2)由知

同理：

相加得：左³

例3.求证：

证明：法一、取，有

a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)

相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)

=(a12+ a22+…+ an2)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：

证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1

例5.对于正整数n，求证：

证明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：

(1)

(2)

证明：(1)

相乘左边³=(n2+1)n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

n个数的算术平均术大于其几何平均数

a,b是正数
则(a+b)/2>=√(ab)

a^2+b^2>=2ab

---

舒兰市15579686950： 数学竞赛能不能通俗易懂的解释一下什么是平均值不等式? ？
夫娴硼酸： 是均值不等式吧. 即a^2+b^2>=2ab. 可由(a-b)^2>=0推出,就是一个变形吧.

舒兰市15579686950： 什么是均值不等式？
夫娴硼酸： 【均值不等式的简介】 概念: 1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an) 3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] 这四种平均数满足...

舒兰市15579686950： 数学均值不等式我点都不懂.哪位大神帮我总结一下 - ？
夫娴硼酸： 您好: 均值不等式就是几个平均值之间的不等关系,其中它的核心是几何——算术平均不等式,这个最常用,因此题目都是围绕着这个不等式出的.均值不等式另外两个(分别是调和——几何平均不等式和算术——平方平均不等式)都可以由几...

舒兰市15579686950： 谁给我讲解一下均势不等式 - ？
夫娴硼酸： 均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数.希望采纳

舒兰市15579686950： 均值不等式是什么啊 - ？
夫娴硼酸： 均值不等式是数学中的一个重要公式.公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数. 均值不等式部分的公式: a^2+b^2 ≥ 2ab √(ab)≤(a+b)/2 ≤(a^2+b^2)/2 a^2+b^2...

舒兰市15579686950： 均值不等式定值是什么意思,怎么求它是不是定值? - ？
夫娴硼酸： 严格是指平方平均数大于等于算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数四个平均数间的大小关系.常用的是前三个,当平方和或和或积式成定值时,得到某个平均数有最值.

舒兰市15579686950： 均值不等式从几何上讲就是曲线运动趋势的最低点(最高点)问题. 不是很懂,能解释一下吗 - ？
夫娴硼酸： 比如a、b满足非负且a+b是定值M,那么在a、b变化的过程中,虽然有两个变量,但互相牵制,并且s=ab是一个变化的值这个值是关于a、或者b的一个二次函数,如果放到s-a(或者s-b)坐标平面上,函数图像就有最高点或者最低点,并且是在a=b=M/2时候达到曲线的最高点或者最低点

舒兰市15579686950： 均值不等式 - 均值不等式``什么是均值不等式啊? ？
夫娴硼酸： 先说重要不等式吧:对于任意实数c、d (c-d)^2=c^2+d^2-2cd≥0,不等式移项变成c^2+d^2≥2cd 如果记c^2=a,d^2=b,就有: a,b∈R+,(a+b)/2≥√(ab)就是数学上说的均值不等式 其中前面的(a+b)/2 叫正实数a、b的算术平均数,后面的√(ab)叫正实数a、b的几何平均数 可以推广到n个正实数,(a1+a2+a3+…+an)/n≥n次根号下a1a2a3…an 均值不等式常用来求最值问题 当a,b∈R+, a+b是定值S时ab有最大值S^2/4 ab是定值P时,a+b有最小值2√P

舒兰市15579686950： 数学均值不等式 - ？
夫娴硼酸： 即平均值不等式 平方平均≧算数平均≧几何平均≧调和平均 代号为Qn≥An≥Gn≥Hn Qn=√[(a1²+a2²+```+an²)/n] , An=(a1+a2+```+an)/n , Gn=(a1a2```an)^(1/n) , Hn=n/[1/a1+1/a2+```+1/an] 即√[(a1²+a2²+```+an²)/n]≧(a1+a2+```+an)/n≧(a1a2```an)^(1/n)≧n/[1/a1+1/a2+```+1/an] 这些等号成立的条件是a1=a2=```=an 均值不等式应用广泛,既可以作为一般不等式题目,也可用来确定式子的范围,求最大最小值等. 谢谢采纳~

舒兰市15579686950： 什么是平均值不等式？
夫娴硼酸： 均值不等式: http://baike.baidu.com/view/441784.htm?fr=ala0_1_1 柯西不等式: http://baike.baidu.com/view/7618.htm?fr=ala0_1_1