椭圆定义，性质是什么？
椭圆的定义是什么呢
椭圆
椭圆
种圆锥曲线（
叫圆锥截线
）
现
高
教材
两种定义：1：平面
两点距离
定值
点
集合（该定值
于两点间距离）（
两
定点
称
椭圆
焦点
焦点
间
距离叫做焦距）；2：平面
定点距离与
定直线间距离
比
数
点
集合（定点
定直线
该
数
于1
数）（该定点
椭圆
焦点
该直线称
椭圆
准线）
两
定义
等价
由于平面截圆锥（或圆柱）
图形
能
椭圆
所
属于
种圆锥截线
图
圆柱
截
截面
面证明
椭圆（用
面
第
定义）：
图
两
半径与圆柱半径相等
半球
圆柱两端相
间挤压
碰
截面
候停止
两
公共点
显
截面与球
切点
设两点
F1、F2
于截面
任意
点P
P做圆柱
母线Q1、Q2
与球、圆柱相切
圆
别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2
所
PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面
椭圆
且
F1、F2
焦点
用同
证明圆锥
斜截面（
通
底面）
椭圆
高
课本
平面直角坐标系
用
程描述
椭圆
椭圆
标准
程
：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其
a>0
b>0
a、b
较
者
椭圆
半轴
较短者
短半轴
（椭圆
两条
称轴
称轴
椭圆所截
两条线段
别叫椭圆
半轴
短半轴）
a>b
焦点
x轴
焦距
2*(a^2-b^2)^0.5
准线
程
x=a^2/c
x=-a^2/c
椭圆
面积
πab
椭圆
看作圆
某
向
拉伸
参数
程
：x=acosθ
y=bsinθ
椭圆
些光
性质：椭圆
面镜（
椭圆
轴
轴
椭圆转
180度形
立体图形
其外表面全部做
反射面
空）
某
焦点发
光线全部反射
另
焦点处；椭圆
透镜（某些截面
椭圆）
汇聚光线
作用（
叫凸透镜）
花眼镜、放
镜
远视眼镜都
种镜片（
些光
性质
通
反证
证明）
关于圆锥截线
某些历史：圆锥截缐
发现
研究起始于古希腊
Euclid,
Archimedes,
Apollonius,
Pappus
等几何
师都热衷于圆锥截缐
研究
且都
专著论述其几何性质
其
Apollonius
所著
八册《圆锥截缐论》集其
说
古希腊几何
登峰造极
精擘
作
于
种既简朴
完美
曲缐
研究
乃
纯粹
几何
观点
研讨
圆密切相关
种曲缐；
几何乃
圆
几何
自
推广
种纯理念
探索
并
寄望
预期
真
自
基本结构
扮演著重要
角色
事
直
十六、十七世纪
交
Kepler
行星运行三定律
发现才知道行星绕太阳运\行
轨道
乃
种
太阳
其
焦点
椭圆
Kepler
三定律乃
近代科
劈
重
突破
创
文
新纪元
且
牛顿万
引力定律
根源所
由
见
圆锥截缐
单单
几何
家所
精简事物
自
基本规律
所自
选用
精要
第一定义：椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
第二定义：到定点（焦点）和定直线（准线）距离之比小于1的点的轨迹为椭圆。
基本性质：
定义
椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的
标准方程
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ
公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
相关性质
由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）
有两种定义：
平面内与两定点、的距离的和等于常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆平面内到定点（c，0）的距离和到定直线的距离之比为常数（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。
扩展资料：
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
参考资料：百度百科_椭圆
1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.
2.椭圆的标准方程
当焦点在x轴上时： + =1(a＞b＞0)
当焦点在y轴上时： + =1(a＞b＞0)
注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2
(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.
(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.
(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.
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