数学模型的建立及求解

建立数学模型流程~

1)建模准备
数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题”。因此发现课题的过程就是分析矛盾的过程贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，我们分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到了需要解决的实际问题，如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题，建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对。

(2)建模假设
作为课题的原型都是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体，这样的原型，如果不经过抽象和简化，人们对其认识是困难的，也无法准确把握它的本质属性。建模假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。对原型的抽象、简化不是无条件的，一定要善于辨别问题的主要方面和次要方面，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化，并且要按照假设的合理性原则进行，假设合理性原则有以下几点：
①目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化掉那些与建模目的无关的或关系不大的因素。
②简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。
③真实性原则：假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。
④全面性原则：在对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。

(3)模型建立
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条件首先区分哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格、画出图形或确定其他数学结构，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。

在构造模型时究竟采用什么数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求以及建模者的数学特长而定 可以这样讲，数学的任一分支在构造模型时都可能用到，而同一实际问题也可以构造出不同的数学模型，一般地讲，在能够达到预期目的的前提下，所用的数学工具越简单越好。

在构造模型时究竟采用什么方法构造模型，要根据实际问题的性质和建模假设所给出的建模信息而定，就以系统论中提出的机理分析法和系统辨识法来说，它们是构造数学模型的两种基本方法。机理分析法是在对事物内在机理分析的基础上，利用建模假设所给出的建模信息或前提条件来构造模型；系统辨识法是对系统内在机理一无所知的情况下利用建模假设或实际对系统的测试数据所给出的事物系统的输入、输出信息来构造模型。随着计算机科学的发展，计算机模拟有力地促进了数学建模的发展，也成为一种构造模型的基本方法，这些构模方法各有其优点和缺点，在构造模型时，可以同时采用，以取长补短，达到建模的目的。

(4)模型求解
构造数学模型之后，再根据已知条件和数据分析模型的特征和结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论，特别是编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。

(5)模型分析
根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行变量之间的依赖关系分析，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条件，重新建模，直到符合要求；通过分析如果符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等。

(6)模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，看它是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环往复，不断完善，直到获得满意结果 目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和物力。

(7)模型应用
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验 因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。

以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活掌握，或交叉进行，或平行进行，不拘一格地进行数学建模则有利于建模者发挥自己的才能。
关于软件有matlab lindo 等

刚做出来的代码，效果非常好

7.4.2.1 数学模型

根据以上概化的水文地质概念模型，模拟区地下水流数学模型用微分方程(7.4)的定解问题来描述:

变环境条件下的水资源保护与可持续利用研究

式中:H为地下水位，m;K为渗透系数，m/d;D为含水层底板标高，m;E为含水层垂向补给强度，m/d，主要包括大气降水入渗补给和河渠渗漏补给;F为含水层开采强度，m³/(a·km²)，主要包括郊县工农业及生活用水开采量;Q_i为城市自来水厂和自备井地下水开采量，m³/d;H₀为初始水位，m;Ω为计算区域;μ为含水层给水度;Q_i(x，y，t)为二类边界单宽补给量，m²/d。

7.4.2.2 时空离散

模型识别期选取2004年为水平年，该年各数据资料扎实，资料连续，能较好反映出含水层结构、水文地质参数和含水层边界性质;模型验证期确定为2004年4月～2007年7月，共1110d。计算区采用矩形网格剖分。由于计算区为地下水位降落漏斗区，地下水水力坡陡较陡，剖分网格面积较小，共剖分47×58个单元，结点2726个，单元面积约0.37km²(图7.14)。模型求解采用加拿大Waterloo水文地质公司的Visual Modflow软件。

图7.14 计算区剖分图

7.4.2.3 水文地质参数

渗透系数量值综合近50年水文地质勘查成果，参照沿村西侧水井单孔抽水试验资料，依据单孔稳定流抽水试验求出的渗透系数(333.6m/d)和导水系数为(6672.0m²/d)及孔组非稳定流抽水试验求出的渗透系数(382.2m/d)和导水系数(7644.2m²/d)取平均值(渗透系数为357.9m/d，导水系数为7158.1m²/d)，另收集前人求参结果设定水文地质参数初始值(表7.13)。

表7.13 以往孔组非稳定流抽水试验求出的渗透系数

7.4.2.4 源汇项

计算区内含水层主要接受大气降雨入渗补给、水库渗漏、渠道渗漏和地下水侧向补给。因计算区地下水位埋深均大于20m，蒸发可忽略，排泄方式主要以人工排泄为主。

(1)垂向补给强度降雨入渗系数据石家庄市近50年的研究成果确定

石家庄市市区包气带厚度大，一般大于40m，向外围逐渐变小。从岩性结构特征来看，在滹沱河河谷地带以砂、砂砾石为主，大部分有薄层亚黏土及亚砂土夹层;滹沱河以北，正定县城—韩家楼一带，为滹沱河与砂磁河冲洪积扇的交接地带，包气带以砂、砾石层为主，夹薄层黏性土的岩性组合类型;滹沱河二级阶地以南至石家庄市市区地带为黏性土砂类土互层的岩性组合，表层有3～10m的亚黏土层，下部为中细砂，砂砾石与亚黏土及亚砂土互层;留营—大河以西，石家庄市市区南部塔谈一带，留村—方村一带，包气带岩性以黏性土为主，并夹有薄层中细砂，其中山前地带表层为亚黏土，下部常有3～5m的黄土碎石层。综合考虑大气降水入渗的各种影响因素，结合《石家庄市地下水资源科学管理研究》(1987年)中子水分仪测定的入渗系数结果(大孙村砂砾石层中为0.414)。并参考“黄准海平原(河北部分)水文地质工程地质综合评价勘查地下水资源评价专题报告”(1982年)成果，进行降水入渗系数分区。滹沱河河谷地带入渗系数为0.35～0.40;河谷两侧一级阶地上为0.30～0.35;滹沱河二级阶地线以南的黄壁庄水库坝下—贾村—西三庄一带，市区南部的塔谈—宋村—中两岭一带及计算区西南部台头—大宋楼一带为0.20～0.30;大河、留营—高迁以西的山前地带入渗系数自东至西由大变小，一般为0.10～0.20;城市建成区(市区、正定县城、铜冶)入渗系数小于0.10。河渠渗漏补给强度。滹沱河渗漏补给地下水，是以极限渗漏强度的方式将地下水与地表水联系起来。在参考前人工作成果的基础上，根据本次渗水试验、采砂坑渗水观测资料，给出各河段极限渗漏补给强度的初值。在模拟时，根据河流放水资料和地下水动态进行调整。石津渠、源泉渠、计三渠渗漏补给，主要是参考前人工作成果，相应给出渗漏补给系数，石津渠、源泉渠、计三渠渗漏补给系数分别设定为0.048、0.22、0.135。农田灌溉水入渗补给地下水的回归系数取0.165。以上各值按不同时段换算成面状补给强度。作为初始值输入模型，经模拟识别后，最终确定其量值。

(2)地下水开采量，根据水资源管理部门的实际开采量统计数据(表7.14)确定

表7.14 历年开采量统计表

7.4.2.5 初始水位

模型识别初始时刻为2004年7月。含水层初始水位(图7.11)根据区域流场形态，结合计算区内和区外2004年7月的地下水位观测资料确定。模型的识别及验证模型识别阶段为2004年7月～2007年7月，该时段经历枯水期和丰水期，地下水位的升幅规律可以比较全面体现含水层、水文地质参数、边界条件和源汇项的特征。识别后，降水入渗系数分区见图7.15和表7.15;含水层渗透系数分区见图7.16和表7.16所示。2007年7月流场拟合情况如图7.17所示，识别时段代表性观测孔拟合情况如图7.18所示。

表7.15 降水入渗系数表

图7.15 降水入渗系数分区图

表7.16 水文地质参数分区表

图7.16 水文地质参数分区图

图7.17 2007年水位拟合曲线图

图7.18 观测孔的计算值与实测值拟合情况

从以上模型识别和验证阶段内，代表性观测孔地下水位拟合情况看(图7.18)，观测孔SH9和SH102离滹沱河水源地较近，每天持续稳定开采，不受季节影响，水位呈近直线下降符合实际，其他4孔在农业区，受季节和间隙性开采，水位呈曲线下降，与实际相符合，水位拟合误差在0.5～1.2m之间。另外，从区域流场形态上看(图7.19)，计算流场和实测流场基本吻合，表明所建立的地下水流数值模型基本能够较真实地刻画拟建地下水库区地水流运动特征，模型所选用的水文地质参数基本合理，模型可以用来预报。

---

连南瑶族自治县13779748620： 建立数学模型的方法和步骤? - ？
弓咱妇炎：[答案] 第一、 模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征.第二、 模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题...

连南瑶族自治县13779748620： 数学建模步骤 - ？
弓咱妇炎： 摘要在整篇论文评阅中占有重要权重,务必认真书写(篇幅不能超过一页).全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选.摘要写得不好,论点不明,条理不清,评委不再阅读正文,论文即遭被淘汰. 摘要是全文...

连南瑶族自治县13779748620： 数学建模的具体步骤及常用到的一些知识 - ？
弓咱妇炎： 第一步,要先将具体的问题,归结成具体的数学问题,建立出数学模型 第二步,用计算机程序求出答案 第三步,写出文档

连南瑶族自治县13779748620： 试述数学模型建立的步骤与方法 - ？
弓咱妇炎：[答案] 模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用

连南瑶族自治县13779748620： 数学建模的步骤和方法 - ？
弓咱妇炎：[答案] 你要参加今年的数学建模比赛吗? 方法有很多的啊. 步骤是确定的; 题目 摘要 问题分析 问题假设 符号假设 模型建立与求解 模型不足及改进 参考文献 附件

连南瑶族自治县13779748620： 什么叫数学建模? - ？
弓咱妇炎：[答案] 数学建模(Mathematical Modeling)就是人们关于实际问题建立数学模型的全过程(包括问题的表述、求解、解释、检验等).

连南瑶族自治县13779748620： 怎么建立数学模型 - ？
弓咱妇炎： —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法,一类是测试分析方法.机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.下面给出建模的—般...

连南瑶族自治县13779748620： 数学建模怎么做 - ？
弓咱妇炎： 数学建模首先花点时间选题,选一个资料比较多而且自己比较熟悉的,选好后根据题意结合查阅的文献进行建模求解.最重要的是写论文.一般的论文的格式有摘要、问题的背景与重述(一般就是照抄原题,当然加上自己的理解最好)、全局符号说明、模型假设、模型的建立与求解、模型的改进与评价(优缺点都要说)、参考文献、附录.论文摘要的写作是关键,所以你的论文摘要一定要写好.要把你针对问题所建立的模型名称、计算结果列出来.记住,论文是最重要的,一定要写好.